中国海洋大学实变函数复习题总汇

第一章重点:集合的交、并、差、余运算，对偶定理上、下限集的定义、求法有关函数集合的表示对等的判定建立、定理可数集的性质、判定基的判定具体集合的基习题：12,20,21，22，26,28,29第二章重点:边界点、内点、聚点、边界、导集、闭包等的含义和求法稠密集、疏朗集、孤立集的定义、性质开集、闭集的定义、性质、判定、构造Cantor集的性质习题：5,6,7,13,16,28第三章重点:外测度的性质（非负性、单调性、次可加性、次可数可加性、条件可加性、平移不变形）测度的性质（非负性、单调性、可加性、可数可加性、平移不变形、上下连续性）可测集全体M关于交、并、差、余的可列运算及极限封闭，是代数。可测集全体M的构成、构造（与开集闭集的关系）习题：1，2，13,25,33第四章重点:可测函数的定义、性质、判定可测函数全体是线性空间，关于极限封闭，与简单函数的关系依测度收敛，几乎处处收敛，一致收敛的定义，它们之间的关系(Egoroff,Lebesgue,Riesz定理)。可测函数的构成（与连续函数的关系，Lusin定理）习题：4，7，12，18,20,26第五章重点:积分与可积的定义、性质、运算极限定理（Levi定理,Fatou引理,Vitali定理,Lebesgue控制收敛性定理）积分的绝对连续性。R-积分和L-积分间的关系习题：1，2，10，12，1412设实函数列)(xfn在E上定义，又设)(inf)(1xfxhnn.证明对Ra，成立1][nnafEahE.证明：因))(()(nxfxhn，故当()nfxa时，必有()hxa，这表明)]([nahEafEn，因此1][nnafEahE.另一方面，任取][ahEx，由下极限的定义，知存在n，使axfn)(（若否，则对任意的n，有()nfxa，这表明inf{()}()nfxhxa，矛盾）.当然有1nnafEx，故1][nnafEahE.综上，左等于右.20空间中坐标为有理数的点的全体K成一可数集.证明：显然(,,):,,KabcabcQQQQ是三个可数集的乘积，从而是可数集.211R中以互不相交的的开区间为元素的集合为至多可数集.证明：设该集合为K.因为对任意的开区间Kba),(，存在有理数),(barab.这样，可作一映射QKf:，使得abrbaf),(.由于K中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射.因此QKfK)(~，也就说明了K是一至多可数集.221R上单调函数)(xf的不连续点的全体A为至多可数集.证明：不妨设函数单增.任取断点Ax0.由于函数单调，所以在0x点的左极限)(0xf和右极限)(0xf都存在，且)()(00xfxf.让断点0x对应于开区间)(),(00xfxf，由于函数单增，所以不同断点所对应的开区间是不相交的.再利用21题即得.26]1,0[中无理数的全体成一不可数集.证明：反证法.假设]1,0[中无理数的全体K是至多可数集，而]1,0[中有理数的全体0Q是可数集，这样0[0,1]KQ是可数集（可数集和至多可数集的并是可数集）.这与]1,0[是不可数集矛盾.28证明ca2，其中a为可数基数，c为连续基数.证明：设},,,,{21nrrrA，即证明A的所有子集的全体A2的势为c.作从A2到二进位小数全体K的映射:2AfK为naaaBf21.0)(，其中当Brn时，1na；当Brn时，0na.因为不同的集合的元素不完全相同，所以该映射是单射，故cKA2.另一方面，作映射:2AgK为Baaagn).0(21，其中:1,1,2,iiBrai若，该映射也是单射，因此cKA2.综上，有cKA2.29]1,0[上连续函数的全体[0,1]C的基数是c.证明：因常函数都是连续函数，故[0,1]CRc.设0[0,1]QQ，则它是可数集.不妨设012,,...,,nQrrr.对任意的[0,1]fC，让其对应于R中的实数组12(),(),...,(),nfrfrfr，则这个对应是从[0,1]C到R的一个单射.事实上，若gf,是对应于同一数组的两个连续函数，即,...2,1,)(irgrfii.对任意的实数]1,0[a，存在有理数序列]1,0[kir，使得)(karki.这样由函数的连续性得到)()(lim)(lim)(agrgrfafkkikik，也即fg，也就是说该对应是一个单射.因此[0,1]C和R的某子集对等，故有[0,1]CRc.综上，[0,1]Cc.5.证明：ABAB.证明：因为'''ABAB，所以有'''''ABABABABABAABBAB.6.在1R中，设[0,1]EQ，求',EE.解：'[0,1]EE7.在2R中，设22(,):1Exyxy，求',EE.解：22'(,):1EExyxy11.证明以下三个命题等价:(1)E是疏朗集.(2)E不含任何邻域.(3)cE)(是稠密集.证明：(1)(2)：反证法假设存在ErxO),(,按闭包的等价定义,),(rxO中任意点的任意邻域中都含有E中的点,与疏朗集的定义矛盾.(2)(3)：由假设,对x,0,有ExO),(,从而cExO),(，即任一点的任一邻域中都有cE)(中的点，也即cE)(是稠密集.(3)(1)：反证法若E不是疏朗集，则存在),(xO，使得),(xO中没有子邻域与E不相交.这实际上意味着对任意的),(),(xOryO都有EryO),(,由r的任意小性知道Ey,再由y的任意性知道EryO),(,由此知道cE不是稠密的.由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的,但稠密集的余集不一定是疏朗的,如Q.13.证明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集.证明：由第11题知若E是疏朗集，则cE)(是稠密集.而由于EE，故ccEE，从而由cE)(是稠密集得到cE是稠密的.反例：Q和cQ都是稠密集.16.孤立集nRE必是至多可数集.证明：令(0,)kEEOk，则kE是有界集列，且1kkEE，故只需要证明每个kE是至多可数集即可.注意到kE也是孤立集并且有界，方便起见，不妨仍记kE为E.这样，问题转为证明：有界的孤立集E是至多可数集.任取xE，由孤立性，存在()0x使得(,())OxxEx.（*）得到满足（*）式开球族(,()):OxxxEK.明显的，E和开球族K对等.对K中的球按半径分类.令nK是K中半径大于1n的球的全体.则1nnKK，若能证明每个nK都是有限集，就得到K是至多可数集，从而E是至多可数集.下证明：nK都是有限集.注意到nK中每个球的半径大于1n，且每个球的球心不在其他的球中（由（*）式），这表明各个球心之间的距离大于1n.另一方面，这些球心是一致有界的.再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题，知nK中只能有有限个球.28.证明：1R中既开又闭的集合只能是1R或.证明：设A是非空的既开又闭集.它必有构成区间，不妨设),(ba是A的一个构成区间.若a有限,则Aa;另一方面，由A是闭集得AAbabaa')',(],[,得到矛盾.所以a，同理得b.因此1AR，所以1R中既开又闭的集或是空集或是1R.实际上：nR中既开又闭的集或是空集或是nR.证明:反证法.设nRA是既开又闭的非空又非nR的集合.则必存在nxR，但xA.一方面因为A是非空闭集,所以存在Ay,使得0,,yxAx.另一方面,因为A又是开集,所以y是内点，而取得非零距离的点绝不能是内点（只能在边界上达到非零的距离），就导出了矛盾,所以nR中既开又闭的集或是空集或是nR.1若E有界，则Em*.证明：因E有界，故存在0M，使得,xMxE.因此E包含在开区间12(,,,):,1,2,,niIxxxxMin中.取开覆盖为,,,21III，其中从第二项开始全是空集.则有*12nimEIIIM.2可数点集的外测度为零..证明：设可数点集,,,,21naaaE，则1nnaE.由外测度的次可数可加性和单点集的外测度为零得到0}{01*1**nnnnamamEm，于是0*Em.13设1E可测且1mE.证明：若*1221,EEmEmE，则2E可测.证明：因1E可测，在可测性的Caratheodory条件中取2TE得12*12*2*\EEmEEmEm.因12EE，所以112EEE，又12*mEEm，代入上等式得到0\12*EEm.这表明12\EE是零测集，故是可测集.而1212\EEEE，右边是两个可测集的并，故2E可测.25E可测的充要条件是：对0，存在开集EG和闭集EF，使得\mGF.证明：必要性：因为E可测，所以对任意的0,存在开集EG,使得2\EGm，同时存在闭集EF,使得2\FEm，此时22\\\FEmEGmFGm.充分性：取n1,则得到一列开集nG和一列闭集nF,使得nnFEG且nFGmnn1\.令1nnGH，1nnFK.则KEH，且KH,可测，同时)(\\nFGKHnn，这表明KH\是零测集.因为KHKE\\，故KE\也是零测集.而KKEE\，故E可测.33反证法：若否，则该零测集中会含有开球，此与集合是零测集矛盾.4．有界闭集E上的连续函数()fx是有界函数证明：只需证明函数的最大最小值可达即可.以最大值为例.令sup{():}MfxxE，则存在点列{}nxE，使得()nfxM.因为E是有界闭集，所以有界点列{}nxE必有在E中收敛的子列，不妨设{}nx自身收敛到xE.另一方面，由于函数()fx连续，故()()nfxfx.由极限的唯一性知()Mfx，也即最大值可取到.同理，最小值也可达到.因此函数()fx必是有界的.实际上，有界闭集E上的连续函数()fx是一致连续函数.证明：对0.由于函数连续，任取xE，则()0x，使得当(,())yEOxx时，必有()()2fxfy（*）.这样，也就得到E的一族开覆盖(,()):OxxxE，其中()x使得（*）式成立.由于E是有界闭集，故必有从属于(,()):OxxxE的Lebesgue数0，即对任意的0xE，必存在某个xE，使得0(,)(,())OxOxx.任取12,xxE，12xx.由上述所言，必存在xE，使1(,)(,())OxOxx，则也有2(,())xOxx.由（*）式，得到1212()()()()()()22fxfxfxfxfxfx.也就证明了一致连续性.7．设mE，f是E上几乎处处有限的可测函数.证明：对0，存在闭集FE，使得(\)mEF，且f在F上有界.证明：设[],[]nEEfEEfn，则nEE是单减的可测集列，且limnnEE.因为mE，所以limnnmEmE.又因为f是E上几乎处处有限的可测函数，故lim0nnmEmE.因此对0，存在N，使得当nN时2nmE，特别的，2NmE.在\NEE上，恒有()fxN.根据可测集的构造，存在闭集\NFEE，使得(\)\2NmEEF.这样，FEEEFEEEFENNNN\\\\\，因