第五讲较复杂行程问题

第五讲较复杂行程问题知识要点：复杂的行程问题涉及三个数量之间的关系：路程、速度和时间。只不过有时是多个物体的相向、相背、同向运动，有时是运动过程中出现多次相遇。它常用的基本数量关系式是：速度×时间=路程。但有时运动过程中多次相遇时，可根据运动物体行驶的路程关系，灵活运用比例来解答。人在环形路上行走，计算行走距离常常与环形路的周长有关。①从同一地点背向而行速度和×相遇时间=环形跑道的周长②从同一地点同向而行速度差×追及时间=环形跑道的周长例题：例1.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。求甲追上乙需多少时间？思路提示：先求出甲、乙两人不停地跑，甲追上乙的时间，再求甲跑完500米，一共停留了几次，共停留时间。例2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？思路提示：先求出小明和爸爸的速度比，观察图可知，爸爸从8点16分到第一次追上小明。爸爸共走的路，就可求出这段时间小明走了的路，继而求出小明在前8分钟走的路，小明的速度，及走8千米用的时间。例3.甲用40秒钟跑完跑道一圈。乙反向跑，每15秒钟与甲相遇一次。问乙跑一圈要几秒钟？思路提示：甲乙两人可看成从圆圈上同一地点，反向而行每相遇一次共跑一圈，可求出速度和，根据甲跑一圈的时间可求甲速，继而可求乙速（用工程问题思维解题）。例4.甲、乙、丙三人跑步锻炼，都从A地同时出发，分别跑到B、C、D三地，然后立即往回跑，跑回A地再分别跑到B、C、D，再立刻跑回A地，这样不停地来回跑，B与A相距101千米，C与A相距81千米，D与A相距163千米。甲每小时跑3.5千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。问：若这样来回跑，三人第一次同时回到出发点需用多少小时？思路提示：分别求出甲、乙、丙往返一次的时间，然后求出他们所用时间的最小公倍数，就可以求出同时回到出发点的时间。例5.李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，他乘车去公司，结果比平时早到5分钟。问李经理什么时间遇上汽车？汽车速度是步行速度的几倍？思路提示：如图，A点代表家，B点代表公司，设李经理在C点上车，从图中看出，汽车比平时少行两个AC，知汽车行一个AC的时间：5÷2=2.5（分钟），汽车比平时早2.5分钟接到李经理，即可解决问题。例6.甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，每一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生，为了尽快地到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在中途下车步行去飞机场，汽车立即返回接在途中步行的乙班学生，已知甲、乙班步行速度相同，汽车的速度是步行的7倍，那么汽车应在距机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达机场？思路提示：如图，A点为学校，B点为飞机场，设甲班乘车到C点下车步行BC，乙班步行AD，DB乘车。图中看到DC+DB=7AD，即DC=3BC=3AD，因此，求出AD的长度就容易了。例7.某城市东西路与南北路交汇于路口A。甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A。甲向北，乙向东同时匀速行走，4分钟后两人距A的距离相等，再继续行走24分钟后，两人距A的距离恰又相等。问甲、乙两人的速度各是多少？思路提示：如图：4分钟，甲到C，乙到D。AC=AD，4分钟共行AB，可求甲乙速度和，再走24分钟，甲到E，乙到F，可知AE=AF，甲28分行BE，乙28分行AF，28分甲比乙多行AB，可求出甲乙速度差，即可求出甲、乙的速度。例8．小刚与小勇进行50米赛跑，结果当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛跑，小刚的起跑线退后10米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是什么？思路提示：先求出第一次小刚和小勇的速度比5：4，再解决第二次，小刚和小勇跑的路程，就可求出小勇离终点的距离。练习：1.A、B各以一定的速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。A的速度是每分钟180米，B的速度是每分钟220米。两人从同一地点同时出发，多少分钟后B第二次追上A？2.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行。乙车比甲车每小时多行全程的201，两车每小时共行全程的209。他们在途中第一次相遇后继续前进，甲车到达B地，乙车到达A地后立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇的地点相隔40千米，AB两地相距多少千米？3.一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，那么可以比原定时间提前24分到达；如果以原速行驶80千米后，再将速度提高31，那么可以提前10分到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？4.科技站组织100名学生到离站32千米的标本园地采集标本。只有一辆每次能载50人的汽车，已知同学们步行的速度为每小时4千米。汽车载人时车速为每小时40千米，空车每小时50千米。为了使全部同学尽快到达目的地，他们采用了步行与乘车相结合的办法。问到达目的地最短的时间是多少小时？5.A、B两地相距20千米，一个班学生45人，由A地去B地。现有一辆马车，车速是人步行速度的3倍，马车每次可乘坐9人，在A地先将第一批9名学生送往B地，其余学生同时步行向B地前进；车到B地后，立即返回，在途中与步行学生相遇后，再接9名学生送往B地，余下的学生继续向B地前进……这样多次往返，当全体学生都到达B地时，马车共行多少千米？（学生上、下时间不计）6．甲班与乙班学生同时从学校从发去某公园，甲班步行速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米。这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班与乙班学生需要步行的距离之比是多少？6.甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面20米处；如果两人各自速度不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？7.小刚和小明进行100米短跑比赛（假定二人的速度均不变）。当小刚跑了90米时，小明距终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？8.汽车每天早上从幼儿园出发，8点整到达居民区车站接小朋友上幼儿园。有一天小朋友们7点40分从居民区车站出发走向幼儿园。在路上遇到汽车后上车到幼儿园，结果比平常提早了4分钟到达。汽车的速度是小朋友步行速度的几倍？9.某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？11.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发，绕池边沿A→B→C→D→A的方向行走。甲的速度是每分钟走50米，乙的速度是每分钟46米。则甲、乙第一次在同一边上行走时，是发生在出后的第多少分钟？12.在40米的环形跑道上，甲、乙两人同时从起跑线出发，反向起跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次在起跑点相遇时，他们已在途中相遇了多少次？例题解答及练习答案例1.100÷（5-4）+10×4=140（秒）注意：甲跑到500米处，正好追上乙，不需计停留时间。例2.小明与爸爸的速度比为1：3，4÷（4+8）=1：34-4×31=38（千米）（小明前8分走的路）38÷8=31（千米）（小明的速度）8÷31=24（分）（小明走8千米用的时间）24+8=32（分），即这时是8点32分。例3.1÷（)4011511÷241=24（秒）或15÷（1-4015）=15÷8524（秒）例4.甲往返一次需101×2÷3.5=352(时)乙往返一次需81×2÷4=161(时)丙往返一次需163×2÷5=403(时)[352,161,403]=[5606560]=6(时)例5.5÷2=2.5(分)上午7点27.5分遇到李经理,李经理7点出门,7点27.5分遇到汽车,27.5分走的路汽车只需行2.5分.所以27.5÷2.5=11(倍).汽车速度是步行速度的11倍.例6.AD=CB.汽车把甲送到C,回到D再到B,甲走完CB,汽车的速度是步行速度的7倍,DC的长度是CB的(7-1)÷2=3(倍)CB=24÷(1+3+1)=4.8(千米)例7.560÷4=140(米/分)(甲乙速度和)560÷28=20(米/分)(甲乙速度差)(140+20)÷2=80(米/分)(甲速)80-20=60(米/分)(乙速)例8.50:40=5:4(小刚与小勇速度比)第二次小刚跑50+10=60(米)小勇跑60×54=48（米）50-48=2（米）练习1.500×2÷（220-180）=25（分）2.甲速：（201209）÷2=51；乙速：（201209）÷2=41第二次相遇时间1÷（5141）=920小时，甲行全程的：9492051第二次乙行全程:910292041.全程为：40÷（94910×2）=180千米.3.1:(1+25%)=4:5,24÷(5-4)×5=120分.1:(1+31)=3:4,120÷4×(4-3)=30分80÷301030=120千米4.4:40=1:10,4:50=1:12.5,如图,用实线代表行车,用虚线代表步行95.1211=32份32÷(1+9+32+1)=3596千米所用时间为:3596×(1+9)÷40+3596×(1+32)÷4=13529小时5.人速:车速=1:3,画图为,实线代表行车,虚线代表步行45÷9=5次20×(1+161818141412121)=5641千米6.设全程为S，甲班步行的路程为S1,乙班步行的路程为S2，根据两班在路上的时间相等可得下面的方程：4834842211SSSSSS化简得：481648122211SSSSSS22111612SSSSSS→21:SS=15：11方法二：如下图所示，A为乙班的上车地点，B为甲班的下车地点。由于48÷3=16，48÷4=12，所以AB间的路程是乙班步行路程的（16-1）÷2=7.5(倍),AB间的路程也是甲班步行路程的(12-1)÷2=5.5(倍).7.5:5.5=15:117.乙的速度是甲的5410020100,乙跑100米,甲可跑100÷54=125(米),所以,甲应后移125-100=25(米).这道题也可用列方程的方法求解.由题意知,甲跑100米时,乙跑80米,设乙跑(100-80)米时,甲跑x米,则8010080100x25x8.当小刚跑了90米时,小明跑了100-25=75(米)于是,小明的速度是小刚速度的75÷90=65.所以当小刚到达终点时,小明跑了100×318365(米)即小明距离终点还有100-3183=1632(米)9.汽车比平常提早4分钟到达幼儿园,说明汽车比平常提早2分钟,即7点58分,接到小朋友.汽车2分钟的路程小朋友走了18分钟,所以汽车的速度是小朋友步行速度的18÷2=9(倍).10.我们先画一个图如下,其中A是学校,B是工厂,C是汽车和劳模相遇的地点.汽车从A到B往返需1小时,即从A到B需30分钟,汽车从A到C往返用了40分钟,即从A到C需20分钟,从而从C到B需30-20=10(分钟).因为汽车到达C点是2点20分,所以劳模从B到C用时:60+20=80(分钟)从而汽车的速度和劳模步行的速度比为:(80÷10)=811.1600÷4÷（50-46）=100（秒）100×50÷400=12（个边长）……200（米）100+200÷50=104（分）12.4：6=2：3，40÷（3-2）×（2+3）=200（米）200÷（4+6）÷[40÷（4+6）]-1=4（次），或200÷40-1=4（次）