1第三章多维随机变量及其分布1、在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。考虑两种试验:(1)放回抽样,(2)不放回抽样。我们定义随机变量X,Y如下:若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y试分别就(1)(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律。解:(1)放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=0,Y=0)=362512101210P(X=0,Y=1)=3651221210P(X=1,Y=0)=3651210122P(X=1,Y=1)=361122122或写成XY01036253651365361(2)不放回抽样的情况P{X=0,Y=0}=66451191210P{X=0,Y=1}=66101121210P{X=1,Y=0}=66101110122P{X=1,Y=1}=661111122或写成XY01066456610166106612、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到2黑球的只数,以Y表示取到白球的只数,求X,Y的联合分布律。XY012300035335210356351235223513563530解:(X,Y)的可能取值为(i,j),i=0,1,2,3,j=0,12,i+j≥2,联合分布律为P{X=0,Y=2}=351472222CCCP{X=1,Y=1}=35647221213CCCCP{X=1,Y=2}=35647122213CCCCP{X=2,Y=0}=353472223CCCP{X=2,Y=1}=351247121223CCCCP{X=2,Y=2}=353472223CCCP{X=3,Y=0}=352471233CCCP{X=3,Y=1}=352471233CCCP{X=3,Y=2}=03、设随机变量(X,Y)概率密度为其它,042,20),6(),(yxyxkyxf(1)确定常数k。(2)求P{X1,Y3}(3)求P(X1.5}(4)求P(X+Y≤4}分析:利用P{(X,Y)∈G}=oDGGdydxyxfdydxyxf),(),(再化为累次积分,其中42,20),(yxyxDo解:(1)∵2012)6(),(1dydxyxkdydxyxf,∴81k3(2)83)6(81)3,1(3210dyyxdxYXP(3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10dyyxdxYXPXP(4)32)6(81)4(4020dyyxdxYXPx4、解:(1)、因,XY都是非负的连续型随机变量,故,XY的概率密度为()()0,0(,)0XYfxfyxyfxy其它其中()Xfx为X的概率密度即0()()xXXftdtFx所以00000000(,)=()()=()()()()()()yyXYyXYXYXYPXYfxydxdyfxfydxdyfxdxfydyFyfydyFxfxdy(2)、因,XY是相互独立的且是非负的连续型随机变量,故可以用(1)的结论111000()()1xxtxXXxFxftdtedte时121221222022120012221121212011xxxxxxPXYeedxedxedxee5、解:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它求边缘概率密度0.0,10)2(8.4),(xyxxyyxf解:其它010)2(4.2)2(8.4),()(02xxxdyxydyyxfxfxX其它010)43(4.2)2(8.4),()(12yyyydxxydxyxfyfyYy46、解:解法(1):将试验的样本空间及X,Y取值的情况列表如下:样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX取值22111100Y取值32221110X所有可能取的值为0,1,2;Y所有可能取的值为0,1,2,3由于试验属于等可能概型,容易得到,XY取,ij,i=0,1,2;j=0,1,2,3的概率和边缘分布律如下表:YX012PYj01/8001/811/81/403/8201/41/83/83001/81/8PXi1/41/21/41解法(2):~(2,1/2)XB,Y所有可能的取值为0,1,2,3.而当0,1,2Xii时Y取i的概率为1/2,Y取1i的概率也为1/2,而取,1ii以外的值是不可能的。知21,0,1,24PXiii故知110,00|00028PXYPYXPXPX110,11|00028PXYPYXPXPX111,11|11124PXYPYXPXPX111,22|11124PXYPYXPXPX112,22|22228PXYPYXPXPX112,33|22228PXYPYXPXPX其他情况的概率为0,所得的联合分布律与解法(1)相同,即为上表所表示。7、解:,XY的概率密度(,)fxy在区域:01,0Gxyx外取零值。有204.8(2),012.42),01()(,)0,0,xXyxdyxxxxfxfxydy(其它其它5124.8(2),012.434),01()(,)0,0,yYyxdxyyyyfyfxydx(其它其它8、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,00,),(其它yxeyxfy求边缘概率密度。解:0,00,),()(xxedyedyyxfxfxxyX,0,0,0,),()(0yyyedxedxyxfyfyyyY9、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它,01,),(22yxycxyxf(1)试确定常数c。(2)求边缘概率密度。解:l=42121432),(1025210ccdyycydxcxdydxdyyxfyy其它,011),1(821421)(~42122xxxydyxxfXxX其它01027421)(~252yyydxdyfYyyY10、解:(1)、(X,Y)关于X的边缘分布律为5551,,51,52,53,54,55jPXiPXiYji将表中Xi那一行的数字相加,就得到概率PXi,可得(X,Y)关于X的边缘分布律为X5152535455kP0.180.150.350.120.20同理可以得到(X,Y)关于Y的边缘分布律为Y5152535455kP0.280、280.220.090.13(2)、所求的条件分布律为:X=i5152535455|51PXiY6/287/285/285/285/2811、解:xox=yyxoyy=x26(1)、0,nmPXnPXnYm14140014147.146.86!7.146.86!()!!!()!147.146.860,1,2,!!mnmnnmnmmmnneenmnmnmnmeennn,nmPYmPXnYm141414140147.146.867.146.86!7.146.86!()!!!()!6.866.867.147.14!()!!!7.14=7.14e=0,1,2,!!mnmmnmnmnmnmkmmnmkmmeemmnmmmnmeemnmmkeemmm14140,1,2,!mePYmmm即~(14),~(7.14)XY(2)、对于0,1,2,m147.146.86{,}{|}{}7.146.867.146.86/,1!()!!!mnmmnmPXnYmPXnYmPYmeeenmmmnmmnm对于0,1,2,nn-m1414mn-m{,}{|}{}7.146.86147.146.86/!()!!1414=0.510.490,1,,mmnmnPXnYmPYmXnPXnneemmnmnnmnm(3)、20X时,2020{|20}0.510.49,0,1,,20mmPYmXmm12、解:在X取为定值i之后,Y是在1,2,,i这i个数等可能地取一个数,因此条件分布律为:71|1,2,,PYkXikii当1i时,条件分布律为Y=k1|1PYkX1当2i时,条件分布律为Y=k12|2PYkX1/21/2当3i时,条件分布律为Y=k123|3PYkX1/31/31/3当4i时,条件分布律为Y=k1234|4PYkX1/41/41/41/413、解:在第9题中,有2221,1(,)40,xyxyfxy其他22122122522212121()|1,-11488217(),0142yXyxxyYyfxxydyxyxxxfyxydxyy边缘概率密度为:2252211,-11()80,7,01()20XYxxxfxyyfy其他,其他(1)当01y时223/25/2|21/43,|7/220,XYxyxyyxyfxyyx取其他值当12Y时的条件概率密度可自上式中令1/2y而得到82|22132,|2220,XYxxfxx取其他值(2)、当11x时(3)、14、915、解:(1)、(,)XY的联合概率密度为:,01/,01(,)0,xyxxfxy其它(2)、Y的边缘密度:1020()0101()(,)211()2YYYyfyyfyfxydxxdxyfyy时时时。所以20y01()0y121y12Yfyy(3)、1311000001(,)33xxxPXYdxfxydydxxdy16第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。解:放回抽样的情况P{X=0,Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=3625P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=365P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=36510P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=361在放回抽样的情况下,X和Y是独立的不放回抽样的情况:P{X=0,Y=0}=66451191210P{X=0}=651210P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=6511101121191210P{X=0}·P{Y=0}=36256565P{X=0,Y=0}≠P{X=0}P{Y=0}∴X和Y不独立17