泰勒公式与函数的高阶多项式逼近

3.3泰勒公式与函数的高阶多项式逼近一.泰勒公式）泰勒（Taylor.,17311685英国附近时，有在可微，则当在点如果00)(xxxxf问题的提出：)())(()()(0000xxoxxxfxfxf的线性近似f)(xL,)()(xLxf所产生的误差是：).(00xxxx高阶的无穷小比问题:)(xpn能否用高次多项式)()()(:xPxfxRnn使误差.)(0阶的导数点具有直到在设nxxf,)(xf可以估计！办法:尽可能附近与寻找一个在)(0xfx:次多项式接近的nnnnxxaxxaaxp)()()(0010)(xpn怎样构造很接近！与附近使得在)()(0xfxPxn？（如何确定它的系数）0x)(xfyoxy分析)()(00xfxPn)()(00xfxPn)()(00xfxPn2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交0xnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010)(xpyn),,2,1,0(nk)()(0)(0)(xfxpkkn如果则.)()(0附近有较高的接近程度在与xxfxPn，假设)()(0)(0)(xfxpkkn),,2,1,0(nknnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010),(00xfa),(101xfa),(!202xfa,.)(!0)(xfannn!)(0)(kxfakk),,1,0(nknnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)())(()()(00)(200000惟一确定！完全由)()(xfxPn.)()(0次泰勒多项式的在称为函数nxxfxPn定理1）（泰勒中值定理)()(0xUxf在若函数，有阶的导数，则具有直到)(10xUxn200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn）（1拉格朗日型余项10)1()()!1()()(nnnxxnfxR其中)(0之间与介于xx）（1点带有在式称为0)(xxf.泰勒公式拉格朗日型余项的证明略有时特别，当,00x)10()!1()(!)0()(1)1(0)(nnknkkxnxfxkfxf称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.注意:即时）中，当在（,01n))(()()(00xxfxfxf)(0之间与在xx也称为含有高阶导数的泰勒公式）（1.推广了的微分中值定理麦克劳林(Maclaurin,1698-1746，英国)，如果对某一个固定的n,0M10)1()()!1()()(nnnxxnfxR,)!1(10nxxMn.0)()(lim0nnnxxxR.)()()1(0MxfxUxn有则阶泰勒公式可写为：表达式时，在不需要余项的精确n.])[()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf.泰勒公式皮亚诺（Peano,1858-1932,意大利）称为带有型余项的有时当特别，,00x.)(!)0()(0)(nknkkxoxkfxf麦克劳林公式.称为带有皮亚诺型余项的解,)()()()(xnexfxfxf1)0()0()0()0()(nffffxnexf)()1(注意到代入公式,得).10()!1(!!2112nxnxxnenxxxe二.函数的高阶多项式逼近例1求xexf)(的n阶麦克劳林公式.)2cos()0(),2cos()()()(nfnxxfnn,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()4(ffff)10()!22()222cos()!2()1(!4!21cos22242nnnxnnxnxxxx)()!2()1(!4!21cos2242nnnxonxxxx解.cos)(2阶麦克劳林公式的求函数例nxxf常用函数的麦克劳林公式);(!!212nnxxonxxxe;)()!12()1(!5!3sin121253nnnxonxxxxx;)()!2()1(!4!21cos2242nnnxonxxxx)1()]1[ln(nx1)1(!)1(nnxn;)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx麦克劳林公式.带有皮亚诺型余项的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.nkkkkxx11)1()1ln(.)1)(1()1(11nnnnx)0(之间与介于x2!2)1(1)1(xxx;)(!)1()1(nnxoxnn)(R2111xxx.)(nnxox例3计算403cos2lim2xxexx.解)(!2114422xoxxex)(!4!21cos442xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex4440)(127limxxoxx原式.127