多元函数微积分学

第八章多元函数微积分学8.1预备知识8.2多元函数的概念8.3偏导数与全微分8.5多元函数的极值与最值8.6二重积分8.4复合函数与隐函数微分法区域设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx0P连通的开集称为区域或开区域．（2）区域8.1预备知识平面方程AxByCzD0一般式：截距式：xyz1abc球面方程标准式：一般式：2222000(xx)(yy)(zz)R222xyzAxByCzD0练习一例1：已知平面与轴、轴、轴的截距依次为3，4，5，则平面方程为————。xyz例2:球心为（3，4，5）半径为6的球面方程为————。8.2多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的极限三、二元函数的连续性设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP).(，变量z按照一定的法则总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.一、多元函数的定义定义当2n时，n元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数．1.求下列函数的定义域练习二(1)arcsinyzx21(2)zxy((3)ln()zxy1(4)ln()zxyxyyxyxf2),(22)3,2(f,则2.设_______.定义设函数),(yxfz的定义域为,D000(,)PxyD，当点P无限趋近于点0P时，),(yxfz无限地趋近于一个确定的常数A，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或0(,)()fxyAPP）.二、二元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．定义.设二元函数()fP定义在D上,00lim()()PPfPfP0()fPP在点如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上000(,),PxyD如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,三、二元函数的连续性8.3偏导数与全微分一、偏导数二、全微分定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为一、偏导数（重点）1、同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213223zxxyy(1,2)例1求在点处的偏导数.yzx)1,0(xx例2求函数的偏导数.解xz,1yyxyzln.yxx2、高阶偏导数),,(22yxfxzxzxxx),,(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy).,(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyxxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx13323xyxyyxz22,zx2,zyx2,zxy22yz例3设求例4.求函数2xyze解:zx22zxzy2zxy2xye22xye2xye22xye的二阶偏导数.2zyx22xye22zy24xye如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为(,)(,)()xyzfxyxfxyyo，其中22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分。称(,)(,)xyfxyxfxyy为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，即(,)(,)xydzfxyxfxyy，或(,)(,)xydzfxydxfxydy.（重点）二、全微分概念例5.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:zx22,2(2,1)(2,1)zzeexy例6.计算函数的全微分.zy,xyyexyxe解:du1(cos)d22yzyzey1dxdyzyez练习三,xyze,zy,zxxyz222,zx求1、设3ln()zxy11(,).dz2、已知,zy,zx求arctan,yzx2,.zzxxy3、求设22,zy思考：多元函数连续、可导、可微三者之间的关系？多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导8.4复合函数与隐函数微分法一、链锁法则二、隐函数求导法则一、复合函数求导法则（链式法则）（重点）定理1如果函数及(),ut()vt都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数[(),()]zftt在点t也可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz．以上公式中的导数称为全导数.dtdzzvutt例7设zuv，而teu，tvcos，求全导数dtdz.解dzzduzdvdtudtvdtsintveutcossinttetet(cossin).tettzvutt定理2如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.zuvyxyx例8设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu),cossin(vvyeuyzuzyuvzyv1cossinvexveuu).cossin(vvxeu例9.设sin,zuvt.dzdtztvuttdzdttve(cossin)costetttzduudtzt求全导数,tuecos,vt解:cost练习四1.设,uze而sin,cos,uxvx求dzdx.2.已知2ln,zuv而23,,xuvxyy求zx和zy.3.设22(,),fxyxyxy求(,)(,)fxyfxyxy.4．设22(,),fxyxyxyxy求(,)(,),fxyfxyxy练习四答案1、sincos22(cossin);xxdzexxdx2、2222222232122ln22ln(23),(23)232ln()(3)ln(23)(23)zuxxuvxyxyvyyxyzxuxxuvxyyyvyyxy3、(,)(,)fxyfxyyxxy4、12(,)(,),.fxyfxyyxy0),()1(yxF隐函数存在定理1设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有yxFFdxdy.隐函数的求导公式二、隐函数的求导法则（重点）例10已知xyyxarctanln22，求dxdy.解令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFdxdy.xyyx隐函数存在定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz.0),,()2(zyxF例11设04222zzyx，求zx，zy.解令则,4),,(222zzyxzyxF,2xFx,42zFz,2zxFFxzzx.2yzFzyyFz22arctanyxyxdydx1、设,求练习四,.zzxy2、求由方程0zexyz确定的隐函数的偏导数8.5多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值二、无条件极值（重点）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.一、多元函数的极值与最值(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.2、多元函数取得极值的条件例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，注意：又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）20BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）20BAC时没有极值；（3）20BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．练习五1、33(,)3fxyxyxy求的极值。3、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大)(大)依据二、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx