数学物理方法复习资料

对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明1复变函数复数的三种基本形式：复数的基本表示式：复数的三角表示式：复数的指数表示式：重要的复数运算：加减运算乘法运算除法运算)sini(coszsinycosx22yxiyxziez)yy(i)xx(zz212121)(i212121ezz11212122122222222222112122211220cos()sin()0exp[()]zxxyyxyxyxiyzxyxyiii对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明幂（n整数）根柯西—黎曼方程或C-R条件两种表示形式：直角坐标形式的柯西—黎曼条件极坐标形式的柯西—黎曼条件复变函数可导的充分条件：可导的充分条件是:f(z)的，，，存在且连续，并满足柯西—黎曼方程。解析与可导不等价函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然，在区域B内的解析函数必在B内可导构建解析函数的具体步骤：1已知一个调和函数，要构成一个解析函数首先一定要验证给定的函数是否是调和函数.2然后由一个调和函数，利用柯西－黎曼条件可求出另一个与之共轭的调和函数，3再由这一对共轭调和函数构建出一个解析函数用以四种方法来构建解析函数(1)不定积分法；（2）全微分法；（3）利用导数公式；（4）曲线积分法222[cos()sin()],(0,1,2,,1)knnnkkkennknπiππiwnninze/innnze222[cos()sin()],(0,1,2,,1)knnnkkkennknπiππiw)n)k2(isinin)k2(i(cosenn)k2(inxvyuyvxuu1vv1uxuxvyuyv对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念.就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析.但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导在某点解析，该点可导，该点连续，该点极限存在，反之均不一定成立。2复变函数的积分柯西定理(一)单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通域上解析，则沿上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有(二）复通区域柯西定理1.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。2.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。柯西公式1有界区域的单连通柯西积分公式如果f(α)在闭单连通区域B内处处解析，l为B内的边界线，z为B内的任一点，那么称为柯西积分公式,简称柯西公式3幂级数展开幂级数收敛半径的几种求法达朗贝尔判别法（比值法）:如果，那么收敛半径为根值法BBZ0dz)z(fdzaz)z(fi21)z(fln1nlldz)z(fdz)z(fi0aak1kklim/1R0ankklim对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明如果，那么收敛半径为泰勒级数展开常见函数的泰勒展开式：20112),!!!kkzkzzzezkk201211),kkkzzzzz20131111)()(),kkkkkzzzzz3521413521)sin(),!!()!kkzzzzzk242511242)cos(),!!()!kkzzzzk)(z231611231)ln()(),kkzzzzzk1011()kkkzk)1(z)1(z)(z)(z/1R0kk0k)zz(a)z(f)z(f!k1a0kk对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明解析延拓：将解析函数定义域加以扩大洛朗级数展开孤立奇点的分类(1)若展式中不含有z-z0的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点；(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)项负幂项，则称z0是f(z)的极点，称m为极点z0的阶，按照m=1或m＞1，称z0是f(z)的单极点或m阶的极点；(3)若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。4留数定理留数定理留数的计算方法(1)如果为的可去奇点那末(2）如果为的本性奇点则需将展开成洛朗级数求如果为的奇点则有如下计算规则)1(z)1(z11()(),!kkzk32z!3)2)(1(z!2)1(z1)z1()7k0k)zz(a)z(fd)z()(fi21ac1k0k),1,0k(n1jjl)b(sfRei2dz)z(f0)z(sfRe00z)(zf1a0z0z对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明规则1如果为的一级极点,那末规则2如果为的m级极点,那末•规则3设,及在处都解析，如果，那末为的一级极点,且有留数定理计算实变函数定积分原理：型如的积分：型如的积分首先把积分转化为围道积分，即变成然后)zz(f)zz(lim)z(sfRe00zz00)zz(f)zz(dzdlim)!1m(1)z(sfRe001m1mzz00)Z(Q)Z(P)z(f)Z(Q)Z(P0)Z(P00)Z(Q00)Z(Q00z)z(f0z)Z(Q)Z(P)z(sfRe000)ee(i21sinii,iz21z2)ee(21cosii,z21z2d)sin,(cosRπ20izzdiz21z,z21zR1z22dzzfl)(dzzfl)(dxxfl)(留数之和在上半平面所有奇点的)(2zfi)(zf)(zf0z0zd)sin,(cosRπ20dxxf)(对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明形如的积分==实轴上有单极点的情况5傅里叶变换傅里叶级数展开奇函数和偶函数的傅里叶展开奇函数f(z)有偶函数f(z)有1()cos,1()sin.lklklklkafdllkbfdll2(0)1(0)kkk1()sin.lklkbfdll1()sin,kkkxfxbl01()cos,kkkxfxaal1()cos.lklkkafdll实轴上半平面)(Re)(Re2)(-kkzsfizsfidzzfmxdxxFcos)(0留数之和在上半平面所有奇点的imzezfi)(mxdxxFcos)(0mxdxxGsin)(0mxdxxGsin)(0留数之和在上半平面所有奇点的imzezG)()sincos()(10lxkblxkaaxfkkk对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明复数形式的傅里叶展开傅里叶积分与傅里叶变换奇函数和偶函数的傅里叶积分与傅里叶变换奇函数f(z)有偶函数f(z)有复数形式的傅里叶积分与傅里叶变换,)(klxkikecxf*1()[].2klilklcfedl11()()cos,()()sin.AfdBfd00()()cos,2()()cos.fxAxdAfd00()()sin,2()()sin.fxBxdBfd00sin)(cos)()(xdBxdAxfdxexffxi*)(21)(对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明函数重要性质挑选性：对连续函数函数傅里叶变换6柯西定理的证明(一)单连通区域柯西定理讨论复变函数积分（线积分）与积分路径的关系证明：如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有回路积分化成面积分0(0)()(0)xxx0(,0,,0)()1(0)baababxdxab或00()()()ftdft()fdefxfxi)(21)(dxxfl)(Bdyyxudxyxvidyyxvdxyxudxxflll),(),(),(),()(dxdyyPxQdyQdxPsll)(dxdyyuxvdyyxvdxyxulsl)(),(),(dexxi21)(l对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明连续，且同理连续，且推论：积分与连接起点和终点的路径无关。（二）复通区域柯西定理人们常常遇到所研究的函数在区域上并非处处解析，即存在奇点（复变函数不解析的点）（如图α点）含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域在l围成的区域中含f(z)的孤立奇点，则可引入曲线l1将此奇点挖掉，在所构成的复连通区域中，f(z)解析。由柯西定理()()0vuuuxyyy,uvyx0),(),(dyyxvdxyxul0uvuuxyxxdzzfdzzfdzzfzzll1021)()()(lD0)(dzzfABCDBAEFABB0z1z0z1z2l1l2l1l0),(),(dyyxudxyxvlyvxu,对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明或又l与l1方向相反，但与-l1方向相同。(多连通域柯西定理)设B是以边为界的有界n+1连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑闭曲线l内部互相外离的n条简单光滑闭曲线。若f(z)在B上连续，在B内解析，则有其中C取关于区域B的正向，或写为：柯西定理小结1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。4.固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分ABCD1llEF0)()()()(1dzzfdzzfdzzfdzzflBAlAB0)()(dzzfdzzfBAAB0)()(1dzzfdzzflldzzfdzzfll)()(1dzzfdzzfll)()(1nlllC10)(dzzfcdzzfdzzfdzzfdzzflllln)()()()(21Bl2l3l1l对第一篇重要公式、概念的总结及柯西定理的证明参考文献［1］著者：梁昆淼．书名：数学物理方法．出版地：北京市西城区德外大街4号出版社：高等教育出版社，印次年：1978年7月．RRCABllSAB