数学物理方法第六章2012

1第六章拉普拉斯变换6.1拉普拉斯变换()0.(0)ftt0()()ptfpftedt为从到的拉普拉斯变换，为核()ft()fppte逆变换pi1()()().2itptiftegtfpedpi()ft原函数()fp像函数()L[()]fpft实际上，原函数为()()ftHt()()tgteft保证（－，）上绝对可积()01()().2itGftedt()2fp1()()()2ititgtGedfied2拉氏变换存在定理设函数f(t)满足下列条件：1°当t＜0时，f(t)=0；2°f(t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；3°f(t)有有限指数增长。则拉氏变换在半平面Re(p)=σ＞σ00()()ptfpftedt上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，f(p)是解析函数。()tftMe收敛横标00()000()()tptMfpftedtMedt解析处处可导00()[()]ptptddftedtftedtdpdp要求一致收敛30()20000d[()]()d()tpttMftedtfttedtMtedtp00d()[()]dptptdftedtftedtpdp()fp是解析函数若函数满足：1°在中解析，且|p|时，一致趋于0；2°对于所有的，沿直线的无穷积分则对于，是()fp0Re()p0Re()pRe()p1()()2iptiftfpedpi0(),()iifpdp收敛；0Re()p()fp的拉氏变换，其中t为实变量。4例0011L[1]1ptptedtepp02000011111L[]()[]ptptptptptttedttdeteedtedtppppp()()00011L[]ststptpstpsteeedtedtepspsRe()RepsRe()0p()2001L[].()ststptpstteteedttedtps1!L[]()nstnnteps0()()(),ptdfptftedtdpL[()]L[()]dfttftdpL[()]L[()](1)nnnndfttftdp5(1)线性定理11221122L[()()]()()cftcftcfpcfp22111L[sin]L[][]22ititeetiipipipRe()0p22L[cos]ptp(2)导数定理L['()]L[()](0)ftpftf0000'()()[()]()L[()](0)ptptptptftedtedfteftpeftdtpftf2L[()]L[()](0)'(0)ftpftpff(3)积分定理01L[()]L[()]tdtp(4)相似定理1L[()]()pfatfaa(5)位移定理L[()]()teftfp0(),atyptfatedt6(6)延迟定理00L[()]()ptfttefp()t0t00()()ttHtt0t(7)卷积定理1212L[()()]()()ftftfpfp12120()()()()tftftfftd卷积tt01200[()()].tptefftddt210210012[()]()[()]()()()pttppeftdtfdefdefdfpfp76.3拉普拉斯变换的反演A.利用已知公式求原函数B.查表(1)32142936L[]81pppp322222936111113(3)(3)(9)2323939ppppppppppp3213342936111L[]cos3sin381223ttpppeettp(2)1L[]peppe因子由延迟定理处理，由查表111L[]pt11L[]()pept22L[cos]ptpL[()]()teftfp122L[]cos()tpetp22L[sin]tp122L[]sin()tetp(3)利用位移定理8(4)1L[]()peppb11L[]()btepb1L[]()peHtp()()()01()()(1)()ttbtbtbtHedHtedeHtb黎曼－梅林反演公式1()()2iptiftfpedpi推广的约当引理：CR是半径为R的圆周在直线Re(p)=a的左侧圆弧，|p|时，在Arg(p)[/2-,3/2+]中一致趋于0，()fplim()0,0RptCRfpedptlim()0,0RiztCRfizedzt一二象限9例：求的原函数1p1()2ptaiaieftdpip2l1l在和上2l1lArg()p121()2ptlleftdpip在上2l1l在上/2iiprereir/2iiprereir0011()()()22rtrteeftdrdriiirir011rtedrrt200121ptpxedtedxtp直接验证100()()(),nnptndfptftedtdp像函数导数的反演-1()L[]()()nnndfptftdp像函数积分的反演-1()L[()]pftfqdqt000()()()()qtqtptpppftfqdqdqftedtftdtedqedtt应用：可计算积分00()()ftfpdpdtt要求积分存在200sin121tdtdptp也可用留数定理计算ixedxix1122222222000coscos1()lnln2atbtpppbbdtdptapapbpa0,0ab（无法用留数定理计算）本章学习拉氏变换的目的：为了后面求解偏微分方程像空间中的问题原始问题像空间的解所要求的解拉氏变换拉氏逆变换容易解决很难解决（作业：P100，2,5，P103,6）12A.拉普拉斯变换：将原函数满足的微分方程变换为像函数满足的代数方程。B.解代数方程得像函数。C.反演：由像函数得出欲求的原函数。(1)RL电路的方程0sin,(0)0dLjRjEtjdt022,LpjRjEp0221/EjLpRLp(/)()(/)(/)0000()sinsinttRLtRLtRLEEjtedeedLL6.4应用解常微分方程思考：拉普拉斯变换法在求解常系数线性微分方程的优点表现在哪些方面？13利用拉普拉斯变换求解微分方程22222sindTaTAtdtl(0)0T(0)0T解：对方程作拉普拉斯变换222222apTTAlp2222222222222222111()ATAaaapppplll22[sin]Ltp22222222sinsin1sinsin/atAtAlaalTttaaaalllll