数学物理方程(第三版)第一章练习答案全解

.......波动方程WaveEquation齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院[e-mail]齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-31/67目录...1方程的导出、定解条件...2达朗贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-32/67...1方程的导出、定解条件...2达朗贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/67方程的导出、定解条件.Example1.1........细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x,t)满足方程∂∂t(ρ(x)∂u∂t)=∂∂x(E∂u∂x),其中ρ为杆的密度,E为杨氏模量.解:由细杆的假设,在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的.取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x轴.任取(x,x+∆x)上的小段B为代表加以研究.t时刻,B的两端位移分别记作u(x,t)和u(x+∆x,t)=u(x,t)+∆u,B段的伸长为u(x+∆x,t)−u(x,t)=∆u,相对伸长则为齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/67方程的导出、定解条件.Example1.1........细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x,t)满足方程∂∂t(ρ(x)∂u∂t)=∂∂x(E∂u∂x),其中ρ为杆的密度,E为杨氏模量.解:由细杆的假设,在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的.取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x轴.任取(x,x+∆x)上的小段B为代表加以研究.t时刻,B的两端位移分别记作u(x,t)和u(x+∆x,t)=u(x,t)+∆u,B段的伸长为u(x+∆x,t)−u(x,t)=∆u,相对伸长则为齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/67方程的导出、定解条件u(x+∆x,t)−u(x,t)∆x=∆u∆x=∂u∂x(x,t),∆x→0.由Hooke定律,B两端的张力分别为E(x)ux|x,E(x)ux|x+∆x.B段的运动方程为Sρ(x)∆x∂2u∂t2(x,t)=E(x)Sux|x+∆x−E(x)Sux|x其中S为细杆截面面积,x为B段重心坐标.约去S,令∆x→0,有∂∂t(ρ(x)∂u∂t)=∂∂x(E(x)∂u∂x).齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-34/67方程的导出、定解条件.Example1.2........在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支撑上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.解:(1)u(0,t)=u(l,t)=0;(2)端点自由,即端点处无外力作用.在左端点SE(0)∂u∂x(0,t)=0,即∂u∂x(0,t)=0.同理右端点∂u∂x(l,t)=0.(3)端点固定在弹性支承上,端点受的外力与支撑的变形成比例.如左端有弹性支承,弹性系数设为k,则SE(0)∂u∂x(0,t)=ku(0,t),(−∂u∂x+hu)x=0=0,h=kE(x)S.同理右端:(∂u∂x+hu)x=l=0.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/67方程的导出、定解条件.Example1.2........在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支撑上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.解:(1)u(0,t)=u(l,t)=0;(2)端点自由,即端点处无外力作用.在左端点SE(0)∂u∂x(0,t)=0,即∂u∂x(0,t)=0.同理右端点∂u∂x(l,t)=0.(3)端点固定在弹性支承上,端点受的外力与支撑的变形成比例.如左端有弹性支承,弹性系数设为k,则SE(0)∂u∂x(0,t)=ku(0,t),(−∂u∂x+hu)x=0=0,h=kE(x)S.同理右端:(∂u∂x+hu)x=l=0.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/67方程的导出、定解条件.Example1.3........试证:圆锥形枢轴的纵向振动方程为E∂∂x[(1−xh)2∂u∂x]=ρ(1−xh)2∂2u∂t2,其中h为圆锥的高.解:仿照第一题有(R为圆锥的底面半径)ρV(x)∂2u∂t2(x,t)=ES(x+∆x)∂u∂x(x+∆x,t)−ES(x)∂u∂x(x,t)其中V(x)=πR2(1−xh)2∆x+o(∆x),S(x)=πR2(1−xh)2.令∆x→0,即得结论.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36/67方程的导出、定解条件.Example1.3........试证:圆锥形枢轴的纵向振动方程为E∂∂x[(1−xh)2∂u∂x]=ρ(1−xh)2∂2u∂t2,其中h为圆锥的高.解:仿照第一题有(R为圆锥的底面半径)ρV(x)∂2u∂t2(x,t)=ES(x+∆x)∂u∂x(x+∆x,t)−ES(x)∂u∂x(x,t)其中V(x)=πR2(1−xh)2∆x+o(∆x),S(x)=πR2(1−xh)2.令∆x→0,即得结论.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36/67方程的导出、定解条件.Example1.4........绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出此线的微小横振动方程.解:设弦长为l,取弦上端点为原点,取铅垂向下的轴为x轴.设u(x,t)为时刻t,x处的横向位移.取位于(x,x+∆x)的微元进行分析,由绝对柔软的假设,弦的张力T的方向总是沿弦的切线方向.又由微小振动的假设ux≪1.因此认为弦在振动过程中不伸长,且张力T与时间无关.考察受力平衡(α1,α2为张力T的方向与竖直线的夹角)T(x+∆x)cosα2−T(x)cosα1=−ρg∆x,(1.1)T(x+∆x)sinα2−T(x)sinα1=ρ∆xutt.(1.2)由(1.1)知dTdx=−ρg⇒T=−ρgx+C.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/67方程的导出、定解条件.Example1.4........绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出此线的微小横振动方程.解:设弦长为l,取弦上端点为原点,取铅垂向下的轴为x轴.设u(x,t)为时刻t,x处的横向位移.取位于(x,x+∆x)的微元进行分析,由绝对柔软的假设,弦的张力T的方向总是沿弦的切线方向.又由微小振动的假设ux≪1.因此认为弦在振动过程中不伸长,且张力T与时间无关.考察受力平衡(α1,α2为张力T的方向与竖直线的夹角)T(x+∆x)cosα2−T(x)cosα1=−ρg∆x,(1.1)T(x+∆x)sinα2−T(x)sinα1=ρ∆xutt.(1.2)由(1.1)知dTdx=−ρg⇒T=−ρgx+C.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/67方程的导出、定解条件而x=0时,T(0)=ρgl,知C=ρgl,所以T(x)=ρg(l−x).又sinα2≈tanα2=∂u∂x(x+∆x,t),sinα1≈tanα1=∂u∂x(x,t).由(1.2)知∂∂x[T(x)∂u(x)∂x]=ρ∂2u∂t2⇒∂2u∂t2=g∂∂x[(l−x)∂u∂x]...O.x.T.T.x.x+∆x齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-38/67方程的导出、定解条件.Example1.5........一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.解:k,σ为正常数utt−a2uxx+kut=0,0xl,t0,u|t=0=φ(x),ut|t=0=ψ(x),u|x=0=0,(ux+σu)|x=l=0.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/67方程的导出、定解条件.Example1.5........一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.解:k,σ为正常数utt−a2uxx+kut=0,0xl,t0,u|t=0=φ(x),ut|t=0=ψ(x),u|x=0=0,(ux+σu)|x=l=0.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/67方程的导出、定解条件.Example1.6........若F(ξ),G(ξ)均为其变元的二次连续可导函数,验证F(x−at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11)..Example1.7........验证u(x,y,t)=1/√t2−x2−y2在锥t2−x2−y20中满足波动方程utt=uxx+uyy.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/67方程的导出、定解条件.Example1.6........若F(ξ),G(ξ)均为其变元的二次连续可导函数,验证F(x−at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11)..Example1.7........验证u(x,y,t)=1/√t2−x2−y2在锥t2−x2−y20中满足波动方程utt=uxx+uyy.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/67...1方程的导出、定解条件...2达朗贝尔公式、波的传播...3初边值问题的分离变量法...4高维波动方程的柯西问题...5波的传播与衰减...6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.1........证明方程∂∂x[(1−xh)2∂u∂x]=1a2(1−xh)2∂2u∂t2(h0常数)的通解可以写成u=F(x−at)+G(x+at)h−x,其中F,G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数,并由此求解它的初值问题:t=0:u=φ(x),∂u∂t=ψ(x).解:(1)令v(x,t)=(h−x)u(x,t)并代入方程得vtt=a2vxx,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.1........证明方程∂∂x[(1−xh)2∂u∂x]=1a2(1−xh)2∂2u∂t2(h0常数)的通解可以写成u=F(x−at)+G(x+at)h−x,其中F,G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数,并由此求解它的初值问题:t=0:u=φ(x),∂u∂t=ψ(x).解:(1)令v(x,t)=(h−x)u(x,t)并代入方程得vtt=a2vxx,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/67达朗贝尔公式、波的传播进而u=vh−x=F(x−at)+G(x+at)h−x.(2){vtt=a2vxx,t=0:v=(h−x)φ(x),vt=(h−x)ψ(x).由d’Alembert公式有v(x,t)=12[(h−x+at)φ(x−at)+(h−x−at)φ(x+at)]+12a∫x+atx−at(h−ξ)ψ(ξ)dξ.再由(1)知此定解问题的解........此问题也可由(1)并利用初始条件决定F和G.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-312/67达朗贝尔公式、波的传播.Example2.2........问初始条件φ(x)与ψ(x)满足怎样的条件时,齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成?解:由题意知G(x)=12φ(x)+12a∫xx0ψ(