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书书书２０１９—２０２０学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控高三年级数学（文科）本试卷共４页，２３小题，满分１５０分考试用时１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卷上将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”２作答选择题时，选出每小题答案后，用２Ｂ铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上３非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效４考生必须保证答题卷的整洁考试结束后，将试卷和答题卷一并交回一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知集合Ａ＝｛ｘ｜０＜ｘ＜３｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜｜ｘ｜＜２｝，则Ａ∪Ｂ＝Ａ（－２，０）Ｂ（０，２）Ｃ（－２，３）Ｄ（２，３）２．已知ｚ＝３＋ｉ１－ｉ，其中ｉ是虚数单位，则｜ｚ｜＝槡槡Ａ３Ｂ５Ｃ２Ｄ３第３题图３．某学校组织学生参加宪法日答题活动，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组区间是：［２０，４０），［４０，６０），［６０，８０），［８０，１００］，该校参与答题活动的学生共１０００人，则答题分数不低于８０分的人数为Ａ１５Ｂ３０Ｃ１５０Ｄ３００４．双曲线ｘ２９－ｙ２１６＝１的左顶点到其渐近线的距离为Ａ２Ｂ９５Ｃ１２５Ｄ３５．记Ｓｎ为等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且ａｎ＞０，若Ｓ２＝６，Ｓ４＝１５２，则ａ２＝Ａ１Ｂ２Ｃ４Ｄ１２６．已知ａ＝２０．１，ｂ＝０．８０．１，ｃ＝ｌｏｇ４８，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为Ａａ＞ｂ＞ｃＢａ＞ｃ＞ｂＣｃ＞ｂ＞ａＤｃ＞ａ＞ｂ）页４共（页１第卷试）文（学数级年三高市湖芜７．“ｍ＝１”是“直线ｌ１：ｘ＋ｍｙ＋１＝０与直线ｌ２：ｘ－ｍｙ－１＝０垂直”的Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ充分必要条件Ｄ既不充分也不必要条件第９题图８．在△ＡＢＣ中，ＢＤ→＝１２ＤＡ→，ＣＥ→＝ＥＡ→，则ＤＥ→为Ａ７６ＢＡ→－１２ＢＣ→Ｂ１６ＢＡ→－１２ＢＣ→Ｃ７６ＢＡ→＋１２ＢＣ→Ｄ１６ＢＡ→＋１２ＢＣ→９．已知一个几何体的三视图如右图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积为Ａ２Ｂ６槡槡Ｃ３Ｄ３３１０已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２ｃｏｓｘ，若ｆ′（ｘ）是ｆ（ｘ）的导函数，则函数ｆ′（ｘ）的图象大致是１１．如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷１３中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球．若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为槡槡槡槡槡槡Ａ２∶１∶３Ｂ２∶２∶３Ｃ２∶２∶１Ｄ２∶２∶３１２．已知函数ｆ（ｘ）＝｜ｃｏｓ２ｘ｜＋ｃｏｓ｜ｘ｜，ｘ∈［－π，π］，则下列说法错误的为Ａｆ（ｘ）有２个零点Ｂｆ（ｘ）最小值为－槡２２Ｃｆ（ｘ）在区间（０，π４）单调递减Ｄｆ（ｘ）的图象关于ｙ轴对称二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．若ｘ，ｙ满足约束条件ｘ≤２ｘ－ｙ＋２≥０ｘ＋ｙ－２≥{０，则ｚ＝３ｘ－ｙ的最小值为．）页４共（页２第卷试）文（学数级年三高市湖芜１４．函数ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ在ｘ＝１处的切线方程为．１５．已知数列｛ａｎ｝是等差数列，且公差ｄ＜０，ａ１＝ｆ（ｘ＋１），ａ２＝０，ａ３＝ｆ（ｘ－１），其中ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋２，则｛ａｎ｝的前１０项和Ｓ１０＝．１６．已知Ｆ１，Ｆ２是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，过左焦点Ｆ１的直线交椭圆于Ａ，Ｂ两点，且满足｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ２｜＝４｜ＢＦ１｜，则该椭圆的离心率是．三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答．第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共６０分１７．（本小题满分１２分）在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，且满足ａｂ－１＝ｃｂｃｏｓＢ－ｃｏｓＣ．（１）求角Ｃ的大小；（２）若ｃ＝２，ａ＋ｂ＝槡１３，求△ＡＢＣ的面积．１８．（本小题满分１２分）为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年１５００元，具体标准由各地结合实际在１０００元至３０００元范围内确定，可以分为两或三档．各学校积极响应政府号召，通过各种形式宣传国家助学金政策．为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查．（１）若该高中学校有２０００名在校学生，编号分别为０００１，０００２，０００３，…，２０００，请用系统抽样的方法，设计一个从这２０００名学生中抽取５０名学生的方案．（写出必要的步骤）（２）该校根据助学金政策将助学金分为３档，１档每年３０００元，２档每年２０００元，３档每年１０００元，某班级共评定出３个１档，２个２档，１个３档，若从该班获得助学金的学生中选出２名写感想，求这２名同学不在同一档的概率．１９．（本小题满分１２分）如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｅ是ＡＢ中点．（１）证明：ＡＣ１∥平面ＥＣＢ１；（２）求直线Ｄ１Ｅ与平面Ｄ１Ｂ１Ｃ所成角的正弦值．）页４共（页３第卷试）文（学数级年三高市湖芜２０．（本小题满分１２分）已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，－４）到焦点Ｆ的距离｜ＰＦ｜＝２ｘ０．（１）求抛物线Ｃ的方程；（２）设直线ｌ与抛物Ｃ交于Ａ，Ｂ两点（Ａ，Ｂ异于点Ｐ），且ｋＡＰ＋ｋＢＰ＝－２，试判断直线ｌ是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．２１．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘ－２ｘ，ａ∈Ｒ．（１）求函数ｆ（ｘ）的极值；（２）当ａ≥１时，证明：ｆ（ｘ）－ｌｎｘ＋２ｘ＞２．（二）选考题：共１０分请考生在第２２、２３题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分２２［选修４—４：坐标系与参数方程］（本小题满分１０分）在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝ｃｏｓθ－槡３ｓｉｎθｙ＝ｓｉｎθ＋槡３ｃｏｓθ＋{２（θ为参数），以坐标原点为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（１）求曲线Ｃ的极坐标方程；（２）若直线ｌ１，ｌ２的极坐标方程分别为θ＝π６（ρ∈Ｒ），θ＝２π３（ρ∈Ｒ），设直线ｌ１，ｌ２与曲线Ｃ的交点分别为Ｍ，Ｎ（除极点外），求△ＯＭＮ的面积２３［选修４—５：不等式选讲］（本小题满分１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ－４｜－２｜ｘ－１｜的最大值为ｍ．（１）解不等式ｆ（ｘ）＞１；（２）若ａ，ｂ，ｃ均为正数，且满足ａ＋ｂ＋ｃ＝ｍ，求证：ｂ２ａ＋ｃ２ｂ＋ａ２ｃ≥３．）页４共（页４第卷试）文（学数级年三高市湖芜２０１９—２０２０学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控高三数学（文科）参考答案一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题 号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＣＢＤＣＢＤＡＤＣＡＢＡ二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分）１３．－２ １４．ｘ－ｙ－１＝０ １５．－７０ １６．槡１０５三、解答题（本大题共８小题，共７０分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）１７．（本小题满分１２分）（１）由ａｂ－１＝ｃｂｃｏｓＢ－ｃｏｓＣ得：ａ－ｂ＝ｃｃｏｓＢ－ｂｃｏｓＣ，由正弦定理可得：ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＣｃｏｓＢ－ｓｉｎＢｃｏｓＣ，又Ａ＝π－（Ｂ＋Ｃ），∴ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）－ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＣｃｏｓＢ－ｓｉｎＢｃｏｓＣ，故：－ｓｉｎＢ＝－２ｓｉｎＢｃｏｓＣ，又∵ｓｉｎＢ＞０，∴ｃｏｓＣ＝１２，∵Ｃ∈（０，π），∴Ｃ＝π３．６分…………………………（２）由余弦定理得：ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ＝（ａ＋ｂ）２－３ａｂ，９分………………………∴ａｂ＝３，∴Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝槡３３４．１２分……………………………………………１８．（本小题满分１２分）（１）第一步：分组将２０００名学生分成５０组，每组４０人，编号是０００１～００４０的为第１组，编号为００４１～００８０的为第２组，…，编号为１９６１～２０００为第５０组；第二步：抽样在第１组中用简单随机抽样方法（抓阄）抽取一个编号为ｍ的学生，则在第ｋ组抽取编号为４０（ｋ－１）＋ｍ的学生．每组抽取一人，共计抽取５０名学生．（说明：步骤合理酌情给分．）６分………………………………………………………（２）记该班３个１档的学生为Ａ１，Ａ２，Ａ３，２个２档的学生为Ｂ１，Ｂ２，１个３档的学生为Ｃ１，从该班获得助学金的同学中选择２名同学不在同一档为事件Ａ．基本事件：Ａ１Ａ２，Ａ１Ａ３，Ａ１Ｂ１，Ａ１Ｂ２，Ａ１Ｃ１，Ａ２Ａ３，Ａ２Ｂ１，Ａ２Ｂ２，Ａ２Ｃ１，Ａ３Ｂ１，Ａ３Ｂ２，Ａ３Ｃ１，Ｂ１Ｂ２，Ｂ１Ｃ１，Ｂ２Ｃ１，共计１５个．事件Ａ包含的基本事件共有１１个，则Ｐ（Ａ）＝１１１５．１２分………………………………）页３共（页１第案答考参）文（学数级年三高市湖芜１９．（本小题满分１２分）（１）连接ＢＣ１交Ｂ１Ｃ于点Ｆ，连接ＥＦ，则Ｆ为ＢＣ１的中点，又∵Ｅ为ＡＢ的中点，∴ＥＦ为△ＡＢＣ１的中位线，∴ＡＣ１∥ＥＦ，３分……………………………………………又ＡＣ１平面ＥＣＢ１，ＥＦ平面ＥＣＢ１，∴ＡＣ１∥平面ＥＣＢ１；５分……………………………………（２）连接Ｄ１Ｆ，可以证明ＡＣ１⊥平面Ｄ１Ｂ１Ｃ，８分………………由（１）得：ＡＣ１∥ＥＦ，∴ＥＦ⊥平面Ｄ１Ｂ１Ｃ，∴直线Ｄ１Ｅ与平面Ｄ１Ｂ１Ｃ所成的角为∠ＥＤ１Ｆ，设正方体的棱长为ａ，则Ｄ１Ｅ＝３２ａ，ＥＦ＝槡３２ａ，∴ｓｉｎ∠ＥＤ１Ｆ＝ＥＦＤ１Ｅ＝槡３３．１２分…………………………………………………………∴直线Ｄ１Ｅ与平面Ｄ１Ｂ１Ｃ所成角的正弦值为槡３３２０．（本小题满分１２分）（１）由题可得：１６＝２ｐｘ０，｜ＰＦ｜＝ｘ０＋ｐ２＝２ｘ{０解得ｘ０＝２，ｐ＝４，∴抛物线的方程为ｙ２＝８ｘ．４分…………………………………（２）设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｎ，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）联立ｙ２＝８ｘ{ｘ＝ｍｙ＋ｎ，消ｘ得：ｙ２－８ｍｙ－８ｎ＝０，Δ＝３２（２ｍ２＋ｎ）＞０，∴ｙ１＋ｙ２＝８ｍ，ｙ１ｙ２＝－８ｎ，６分………………………………………………………∴ｋＡＰ＝ｙ１＋４ｘ１－２＝ｙ１＋４ｙ２１８－２＝８ｙ１－４，同理ｋＢＰ＝８ｙ２－４，８分……………………………又ｋＡＰ＋ｋＢＰ＝－２，∴ｙ１ｙ２－１６＝０，∴ｎ＝－２，∴直线ｌ的方程为：ｘ＝ｍｙ－２，过定点（－２，０）．１２分………………………………２１．（本小题满分１２分）（１）ｆ′（ｘ）＝ａｅｘ－２，当ａ≤０时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）在Ｒ单调递减，则ｆ（ｘ）无极值．２分……………………当ａ＞０时，令ｆ′（ｘ）＝０得ｘ＝ｌｎ２ａ，ｆ′（ｘ）＞０得ｘ＞ｌｎ２ａ，ｆ′（ｘ）＜０得ｘ＜ｌｎ２ａ，∴ｆ（ｘ）在（－∞，ｌｎ２ａ）上单调递减，（ｌｎ２ａ，＋∞）单调递增，）页３共（页２第案答考参）文（学数级年三高市湖芜∴ｆ（ｘ）的极小值为ｆ（ｌｎ２ａ）＝２－２ｌｎ２ａ，无极大值，综上：当ａ≤０时，ｆ（ｘ）无极值．当ａ＞０时，ｆ（ｘ）的极小值为ｆ（ｌｎ２ａ）＝２－２ｌｎ２ａ，无极大值；５分…………………（２）当ａ≥１时，ｆ（ｘ）－ｌｎｘ＋２ｘ≥ｅｘ－ｌｎｘ，令ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ｌｎｘ－２，ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－１ｘ（ｘ＞０），令ｇ′（ｘ）＝０得ｘ＝ｘ０，因为ｇ′（ｘ）在（０，＋∞）为增函数，所以函数ｇ（ｘ）在（０，ｘ０）上单减函数，在（ｘ０，＋∞）上单增函数，所以ｇ（ｘ）≥ｇ（ｘ０）＝ｅｘ０－ｌｎｘ０－２＝１ｘ０＋ｘ０－２（ｘ０≠