大纲版数学理科高考总复习12-1概率与统计

•第1课时离散型随机变量的分布列•1．了解离散型随机变量的意义；会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．•2．高考题经常与概率的求法相结合考查分布列在实际生活中的应用，一般以解答题的形式出现；与二项分布有关的题目经常出现，要熟悉掌握．•1．离散型随机变量的分布列•(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi(i＝1,2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，则称表ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…•为随机变量ξ的，简称为ξ的分布列．•(2)离散型随机变量的两个性质•①•②.概率分布pi≥0(i＝1,2,3，…)p1＋p2＋…＝1•2．二项分布•如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝.•其中k＝0,1，…，n，q＝1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn－1…Cnkpkqn－k…Cnnpnq0Cnkpkqn－k•我们称这样的随机变量ξ服从，记作，其中n、p为参数，并记•二项分布ξ～B(n，p)Cnkpkqn－k＝b(k；n，p)•3．几何分布•在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数ξ的概率分布为：ξ123…k…Ppqpq2p…qk－1p…•则称ξ服从几何分布，记为g(k，P)＝qk－1p，其中q＝1－p，k＝1,2,3……•4．若ξ是随机变量a、b为常数则aξ＋b＝η，则η是．随机变量•1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，随机变量为()•A．取到次品的件数B．取到产品的件数•C．至少取到1件正品D．取到次品的概率•解析：根据随机变量的定义故选A.•答案：A•2．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()•A．一颗是3点，一颗是1点•B．两颗都是2点•C．两颗都是4点•D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点•解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是ξ＝4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．•答案：D•3．有以下四个随机变量，其中离散型随机变量的个数是()•①某无线寻呼台1分钟内接到寻呼次数ξ是一个随机变量；②如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差ξ是一个随机变量；③一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是一个随机变量；④某人射击一次中靶的环数ξ是一个随机变量．•A．1B．2•C．3D．4•解析：根据离散型随机变量的概念可知①④是离散型随机变量，而②③中的随机变量均不能一一列出，故不是离散型随机变量，所以选B.•答案：B4．随机变量ξ的概率分别规律为P(ξ＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12ξ52的值为()A.23B.34C.45D.56解析：∵P(ξ＝n)＝ann＋1∴a2＋a6＋a12＋a20＝1∴a＝54P(12ξ52)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝a2＋a6＝23a＝56故选D.•答案：D•5．已知随机变量ξ的分布列为：•则x＝________.•解析：由0.1＋0.2＋0.3＋x＋0.1＝1得x＝0.3.•答案：0.3ξ01234P0.10.20.3x0.1•题型一离散型随机变量的分布列•典例1(2010年江苏高考)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．•(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；•(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．•【解】(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且•P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.•由此得X的分布列为X－32510P0.020.080.180.72(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥145，又n∈N，得n＝3，或n＝4.所以P＝C43×0.83×0.2＋C44×0.84＝0.8192.故所求概率为0.8192.•【方法技巧】求一随机变量的分布列，可按下面的步骤：•(1)明确随机变量的取值范围；•(2)求出每一个随机变量在某一范围内取值的概率；•(3)列成表格．•特别警示：(1)解决该类问题的关键是搞清离散型随机变量ξ取每一个值时对应的随机事件，然后求出ξ取每一个值的概率．•(2)列出分布列后，要注意应用分布中概率和为1这一性质检验所求的分布列或概率是否正确．•变式1甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．•(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；•(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；•(3)设随机变量ξ为这五名志愿中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．解析：(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝A33C52A44＝140.即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝A44C52A44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)＝1－P(E)＝910.(3)随机变量ξ可能取的值为1,2，事件“ξ＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(ξ＝2)＝C52A33C52A44＝14.所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝34，ξ的分布列是ξ12P3414题型二二项分布与几何分布典例2某人参加射击，击中目标的概率为13.(1)设ξ为他射击6次击中目标的次数，求随机变量ξ的分布列；(2)设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求η的分布列．【解】(1)随机变量ξ服从二项分布B(6，13)，而ξ的取值为0,1,2,3,4,5,6，则P(ξ＝k)＝C6k(13)k(23)6－k(k＝0,1,2,3,4,5,6)，故ξ的分布列为(2)设“η＝k”表示“他前k－1次未击中目标，而在第k次射击时击中目标”，则η的取值为全体正整数1,2,3，…，则P(η＝k)＝(23)k－1·13(k＝1,2,3，…)．故η的分布列为•【方法技巧】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．•(2)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(ξ＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.在利用该公式时一定要审清公式中的n，k各是多少．•变式2写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从几何分布的是哪些？•(1)ξ1表示重复抛掷1枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；•(2)ξ2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2枚骰子的点数之和；•(3)ξ3表示1个击中目标的概率为0.9的射手从开始射击到第一次击中目标所需要的射击次数．•解析：ξ1服从二项分布，ξ2既不服从二项分布也不服从几何分布，ξ3服从几何分布．•(1)ξ1的分布列为：•(2)ξ2的分布列为：•(3)ξ3的分布列为：•题型三形如n＝aξ＋b的分布列•典例3设离散型随机变量ξ的分布列为ξ01234P0.20.10.10.3m求：(1)2ξ＋1的分布列；(2)|ξ－1|的分布列；(3)求P(22ξ＋19)．【分析】利用i＝14Pi＝1求m→求2ξ＋1及分布列→求|ξ－1|及分布列．•【解】由分布列的性质如：•0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.•首先列表为：•从而由上表得两个分布列为：•(1)2ξ＋1的分布列：•(2)|ξ－1|的分布列：2ξ＋113579P0.20.10.10.30.3|ξ－1|0123P0.10.30.30.3•(3)解：P(22ξ＋19)•＝P(2ξ＋1＝3)＋P(2ξ＋1＝5)＋P(2ξ＋1＝7)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.•【方法技巧】求ξ、η两变量的分布列时，要注意分析ξ与η之间是否存在函数关系，若存在函数关系，可以通过函数关系优化解题思路，减少运算量．•变式3随机变量ξ的分布列如下：•其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________.ξ－101Pabc解析：∵a，b，c成等差数列∴2b＝a＋c又a＋b＋c＝1∴b＝13∴P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝a＋c＝23.答案：23•易错点审题不清致误•例有一批数量很大的产品，其次品率为15%.对这批产品进行抽查，每次抽出1件．如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次，求抽查次数ξ的分布列．•【错解】因为抽查次数ξ可取1～10的整数，取出次品的概率为0.15，取出正品的概率为0.85.前k－1次取出正品而第k次取出次品的概率P(ξ＝k)＝0.85k－1×0.15(k＝1,2，…，10)．•故随机变量ξ的分布列为ξ12345P0.150.85×0.150.852×0.150.853×0.150.854×0.15ξr678910P0.855×0.150.856×0.150.857×0.150.858×0.150.859×0.15•【错因分析】上面解法的错误在第10次抽查时的概率计算不对，只要把所得概率利用等比数列求和就可以发现不等于1.其原因在于只能抽查10次，则前9次取出的都是正品，而第10次抽出的可能是正品，也可能是次品．•【正确解答】P(ξ＝10)＝0.859×0.15＋0.8510＝0.859，•故ξ的分布列为ξ12345P0.150.85×0.150.852×0.150.853×0.150.854×0.15ξr678910P0.855×0.150.856×0.150.857×0.150.858×0.150.859•1．已知随机变量X的概率只能取三个值a、b、c，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析：由已知，得a＋b＋c＝1，而2b＝a＋c，所以3b＝1，b＝13.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤1,0≤13＋d≤1，所以－13≤d≤13，此即为公差d的取值范围．答案：－13≤d≤132．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a(23)i，i＝1,2,3，则a的值是()A.1738B.2738C.1719D.2719解析：1＝p(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＋p(ξ＝3)＝a[23＋(23)2＋(23)3]解得a＝2738.•答案：B3．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥1)＝________.解析：P(ξ≥1)＝1－P(ξ1)＝1－C20p0·(1－p)2＝59.∴p＝13.P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－C40(13)0(23)4＝1－1681＝6581.答案：6581课时作业（六十）