生活中的优化问题举例

上一页返回首页下一页3.4生活中的优化问题举例上一页返回首页下一页1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路.(重点)2.灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力.(难点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理优化问题阅读教材P101第一自然段，完成下列问题.1.优化问题(1)生活中经常会遇到求________、________、________等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)用导数解决优化问题的实质是____________.利润最大用料最省效率最高求函数的最值上一页返回首页下一页2.用导数解决优化问题的基本思路上一页返回首页下一页甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3­4­1所示：图3­4­1上一页返回首页下一页现有下列四种说法：①前四年该产品产量增长速度越来越快；②前四年该产品产量增长速度越来越慢；③第四年后该产品停止生产；④第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的有()A.①④B.②④C.①③D.②③【解析】由图象可知，②④是正确的.【答案】B上一页返回首页下一页[小组合作型]面积、体积最值问题用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图3­4­2).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？图3­4­2上一页返回首页下一页【精彩点拨】设自变量高为x―→根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数―→利用导数求出容积的最大值―→结论【自主解答】设容器的高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则：V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0＜x＜24).所以V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36).上一页返回首页下一页令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去).当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)是增加的；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)是减少的.因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19600(cm3).因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.上一页返回首页下一页1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值.2.实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等.上一页返回首页下一页[再练一题]1.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.【解】设矩形边长AD＝2x(0x2)，则|AB|＝y＝4－x2，则矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0x2)，∴S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝233，x2＝－233(舍去).上一页返回首页下一页当0x233，S′0，当233x2时，S′0，所以，当x＝233时，S取得最大值，此时Smax＝3239.即矩形的边长分别为433，83时，矩形的面积最大.上一页返回首页下一页XXX用料(费用)最省问题某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝8001＋15lnx来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【精彩点拨】先求每平方米的购地费用，综合费用是建设费用与购地费用之和.上一页返回首页下一页【自主解答】设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为128×1041000x＝1280x元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝8001＋15lnx来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋1280x＝800＋160lnx＋1280x(x＞0)，所以g′(x)＝160x－8x2(x＞0)，令g′(x)＝0，则x＝8，当0＜x＜8时，g′(x)＜0，当x＞8时，g′(x)＞0，所以x＝8时，函数取得极小值，且为最小值.故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省.上一页返回首页下一页实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f′x＝0求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.上一页返回首页下一页[再练一题]2.甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝119200v4－1160v3＋15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.上一页返回首页下一页【解】(1)Q＝P·400v＝119200v4－1160v3＋15v·400v＝119200v3－1160v2＋15·400＝v348－52v2＋6000(0＜v≤100).上一页返回首页下一页(2)Q′＝v216－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0＜v＜80时，Q′＜0；当80＜v≤100时，Q′＞0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝20003(元).上一页返回首页下一页[探究共研型]利润最大(成本最低)问题探究关于利润问题常用的等量关系有哪些？【提示】关于利润问题常用的两个等量关系：①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数.上一页返回首页下一页某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1x＋1(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)利用题中等量关系列出y与x的函数关系式，将x＝100代入所求关系式判断y0还是y0；(2)先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由题意，每年销售Q万件，成本共计为(32Q＋3)万元.销售收入是(32Q＋3)·150%＋x·50%，∴年利润y＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q＋3－x)＝1232×3x＋1x＋1＋3－x＝－x2＋98x＋352x＋1(x≥0)，∴所求的函数关系式为：y＝－x2＋98x＋352x＋1(x≥0).因为当x＝100时，y0，所以当年广告费投入100万元时，企业亏损.上一页返回首页下一页(2)由y＝f(x)＝－x2＋98x＋352x＋1(x≥0)，得f′(x)＝－x2－2x＋632x＋12(x≥0).令f′(x)＝0，则x2＋2x－63＝0.∴x＝－9(舍去)或x＝7.又∵当x∈(0,7)时，f′(x)0；当x∈(7，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)极大值＝f(7)＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.上一页返回首页下一页1.利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值.2.解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误.上一页返回首页下一页[再练一题]3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p＝24200－15x2，且生产x吨产品的成本为R＝50000＋200x(元).问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)上一页返回首页下一页【解】每月生产x吨时的利润为f(x)＝24200－15x2x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0).由f′(x)＝－35x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去).上一页返回首页下一页因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元).所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.上一页返回首页下一页1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为()A.2033cmB.100cmC.20cmD.203cm上一页返回首页下一页【解析】设圆锥的高为hcm，则V＝13π(400－h2)×h，所以V′(h)＝13π(400－3h2).令V′(h)＝0，得h2＝4003，所以h＝2033.故选A.【答案】A上一页返回首页下一页2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数：y1＝17x2(x0)；生产总成本y2(万元)也是x的函数：y2＝2x3－x2(x0)，为使利润最大，应生产()A.9千台B.8千台C.6千台D.3千台【解析】利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x0)，求导得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去).因0x6时，y＝18x2－2x3递增，x6时，y＝18x2－2x3递减，∴x＝6时利润最大，故选C.【答案】C上一页返回首页下一页3.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最小值为________.上一页返回首页下一页【解析】设其中一段长为x，则另一段长为16－x，设两正方形的面积分别为S1，S2，面积之和为S，则S＝S1＋S2＝x42＋16－x42＝116x2＋116x2－2x＋16＝18x2－2x＋16(0x16).令S′＝14x－2＝0，得x＝8.即x＝8时，S有最小值，最小值为8.【答案】8上一页返回首页下一页4.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的售价为________元时，利润最大.【解析】利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大.【答案】115上一页返回首页下一页5.某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元).求：(1)利润函数P(x)(提示：利润＝产值－成本)的解析式；(2)年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？上一页返回首页下一页【解】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N且x∈[1,20]).(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x＋9)(x－12)(x∈N且x∈[1,20])，当1≤x≤12时，P′(x)＞0，P(x)单调递增；当12＜x≤20时，P′(x)＜0，P(x)单调递减；∴x＝12时，P(