2016届高考数学文一轮复习课件3.3导数的综合应用

数学A（文）§3.3导数的综合应用第三章导数及其应用基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题.(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.3.方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数.思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)连续函数在闭区间上必有最值.()(2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值.()(3)函数f(x)＝＋x－1和g(x)＝－x－1都是在x＝0时取得最小值－1.()xx√√×(4)函数f(x)＝x2lnx没有最值.()(5)已知x∈(0，)，则sinxx.()(6)若a2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上没有实数根.()π213×××题号答案解析1234CDDCA错，因为极大值未必是最大值.B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点.C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点.D对，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点.题型一利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；12题型一利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；12解设两曲线的公共点为(x0，y0)，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2x，由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即12x20＋2ax0＝3a2lnx0＋b，x0＋2a＝3a2x0.题型一利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；12由x0＋2a＝3a2x0，得x0＝a或x0＝－3a(舍去).即有b＝12a2＋2a2－3a2lna＝52a2－3a2lna.令h(t)＝52t2－3t2lnt(t0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt).于是当t(1－3lnt)0，即0t13e时，h′(t)0；题型一利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；12当t(1－3lnt)0，即t13e时，h′(t)0.故h(t)在(0，13e)上为增函数，在(13e，＋∞)上为减函数，于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(13e)＝233e2，即b的最大值为233e2.解析思维升华(2)求证：f(x)≥g(x)(x0).(2)求证：f(x)≥g(x)(x0).证明设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x0)，12解析思维升华则F′(x)＝x＋2a－3a2x＝x－ax＋3ax(x0).故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数.于是F(x)在(0,＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x0时，f(x)≥g(x).(2)求证：f(x)≥g(x)(x0).利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数，并求其单调区间；(2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式.解析思维升华跟踪训练1证明：当x∈[0,1]时，x≤sinx≤x.22证明记F(x)＝sinx－22x，则F′(x)＝cosx－22.当x∈(0，π4)时，F′(x)0，F(x)在[0，π4]上是增函数；当x∈(π4，1)时，F′(x)0，F(x)在[π4，1]上是减函数.又F(0)＝0，F(1)0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sinx≥22x.跟踪训练1证明：当x∈[0,1]时，x≤sinx≤x.22记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cosx－10，所以H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，22x≤sinx≤x，x∈[0,1].例2(2013·北京)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；题型二利用导数研究函数零点问题例2(2013·北京)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；题型二利用导数研究函数零点问题解由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx).∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切.∴f′(a)＝a(2＋cosa)＝0且b＝f(a)，则a＝0，b＝f(0)＝1.(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围.解析思维升华解令f′(x)＝0，得x＝0.∴当x0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上递增.当x0时，f′(x)0，f(x)在(－∞，0)上递减.∴f(x)的最小值为f(0)＝1.解析思维升华(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1，＋∞).解析思维升华(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围.函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.解析思维升华(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围.跟踪训练2已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；解f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a0时，对x∈R，有f′(x)0，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).当a0时，由f′(x)0，解得x－a或xa.跟踪训练2已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；由f′(x)0，解得－axa，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a).(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(－3,1).题型三生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；ax－3思维点拨解析(1)由x＝5时y＝11求a；题型三生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；ax－3思维点拨解析解因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.a2题型三生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；ax－3思维点拨解析思维点拨解析思维升华(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思维点拨解析思维升华(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).思维点拨解析思维升华(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4时，函数f(x)在区间(3,6)内取得极大值，也是最大值.思维点拨解析思维升华(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.思维点拨解析思维升华在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思维点拨解析思维升华跟踪训练3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？解设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0x30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值.(2)某厂商要求包装盒的容积