线性变换习题课

1第七章线性变换习题课基本内容目录下页返回结束例题选讲基本解题方法2一、基本内容1212,,,,,,(),(),,(),nnVPnVVV设是数域上维线性空间是的线性变换取定的一组基因设11112121212122221122(),(),,(.nnnnnnnnnnaaaaaaaaa)1.线性变换及其矩阵首页上页下页返回结束31212((),(),,())(,,,)nnA即12(),,,.nnijnnnAaP是在基下的矩阵12(,,:),.jnAj的第列恰是向量在基下注的坐标,()特别数乘变换、单位恒等变换、零变换在下的矩阵分别是数量矩阵、单位矩阵、任意基零矩阵.().但一般线性变换在不同基下的彼矩阵一般是的此相似不同首页上页下页返回结束42.()与的坐标关系式121212121122,,,,(),,,(,,,)(,,,),nnnnnnAxxxyyyyxyxAyx设在基下的矩阵是与在基下的坐标分别是和则首页上页下页返回结束5,,(),PnVVPnLVV在数域上维线性空间中一组取定的基下对于的每一个线性变换都有上唯一确定的级矩阵与之对应,这种对应保持运算.设是的全体线性变换组成的线性空间则()nnLVP3.线性变换与矩阵间的对应关系2(()),.LVnnV维为的维数,这样就可以把线性变换用矩阵来表现于是首页上页下页返回结束6,,,.,“”“”.在处理线性变换的问题时可以按的模式把线性变换问题化为矩阵问题来处理然后再把所得的结论化为线性变换的结论也可线性变换矩在处阵线性变换矩阵线理矩阵问题性变换矩阵时按模式4.相似矩阵.同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之,两个相似矩阵可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵.利用相似矩阵的性质可以简化矩阵的运算首页上页下页返回结束7()(,0)P，,VPV设是上线性空间是的线性变换,若,.则是的特征值是的属于的特征向量5.特征值与特征向量0||,()0().AEAAEAXA00矩阵的特征多项式的根称为的特征值而相应的线性方程组的非零解向量称为的属于这个特征值的特征向量首页上页下页返回结束812121122,,,,(1);(2)(,,,)nnnnVAAPAxxxxxx设在的基下的矩阵是则的在数域中的特征值就是的特征值若的属于特征值的一个特征向量是则的属于特征值的一个特征向量就是线性变换的特征值、特征向量和其对应矩阵的特征值、特征向量之间的关系：首页上页下页返回结束9:一些主要结论1),.一个特征向量只能属于一个特征值而一个特征值可以有多个特征向量2).属于同一特征值的特征向量的一切非零线性组合是属于此特征值的特征向量3).属于不同特征值的特征向量线性无关4),.相似矩阵有相同的特征多项式因而有相同的特征值首页上页下页返回结束10:{|()}VV特征子空间(1)V维的重数.基本性质：(2),()0,.AVEAXV若的矩阵是则同构于的解空间且基础解系给出了的基向量的坐标1212(3),,,,,ssWVVV若是的互异的特征值则是直和且是的不变子空间.首页上页下页返回结束116.对角化的条件及其方法1)对角化概念V:在的某组基下的矩阵是可对角化对角阵.1:,.TTAAT可对角化存在可逆矩阵使为对角阵2)对角化的条件(1)()().AAn或可对角化或有个线性无关的特征向量充要条件(2)(i).(ii),().PV可对角化的特征多项式的根都在内对的每个特征值维的重数首页上页下页返回结束12(3)(i).(ii),(),.AAPAEAnss可对角化的特征多项式的根都在内对的每个特征值秩为的重数充分条件()().APnA若或在内有个不同的特征值,则或可对角化首页上页下页返回结束3)对角化的方法().AA因可对角化可对角化其中是在某组基下的矩阵.A因此对角化问题可转化为对角化问题13首页上页下页返回结束12(1)||,,,,;sAEAA计算的特征多项式求出的全部特征值12(2),.,,,,,()0,;isiiPAPEAX如果存在则不能对角化如果则对每个特征值求出齐次线性方程组的一个基础解系(3),,,;ii如果对每个其基础解系所含向量的个数等于的重数则可对角化否则不能对角化:对角化步骤141(4),,,.TTTATA将所有基础解系的解向量作列向量构成矩阵则可逆且为对角阵的主对角线上元素就是的所有特征值首页上页下页返回结束注:对角形矩阵中主对角线上的元素(即特征值)的次序应与T的列向量的次序相对应.157.线性变换的值域与核1:(){()|}:(0){|()0,}VVV值域核主要结论：1(1)()(2)(0){0}VV是满射是单射12,,,.nVA如果在的基下的矩阵是则有12(3)()((),(),,())(4)(())()nVLVA维秩适用于有限维空间1(5)(())((0))()(6)VV维维维是单射是满射首页上页下页返回结束168.不变子空间,,,().WVV设是的子空间是的线性变换则是的不变子空间有几个特殊的不变子空间11)().V的值域与核(0)是的不变子空间2).V的属于特征值的特征子空间是的不变子空间12(,,,),(),1,2,,.siWLVWWis设是的子空间则是的不变子空间有限维子空间是不变子空间的判定首页上页下页返回结束17(),.WLW对于一维子空间则是的不变子空间是的特征向量不变子空间在化简线性变换的矩阵时的作用12,(),1,2,,,,,:siiiV如果其中则可在每个中取一个基凑成的一个基在这个基下的矩阵为准对角矩阵12sAAA首页上页下页返回结束18(1,2,,)|.iiiAisWW其中是在的基下的矩阵12,(),()1,1,2,,,.niiiV如果其中维则可对角化,特别地首页上页下页返回结束19二、基本解题方法1.一个线性变换在某组基下的矩阵的求法方法一:用定义.基向量在线性变换下的像关于基的坐标作为列,所得矩阵即为所求矩阵.方法二:引入特殊基(如标准基),利用过渡矩阵及有关结论(一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的)求出.2.线性变换问题与矩阵问题互相转化的方法线性变换:采用“线性变换-矩阵-线性变换”模式.矩阵:采用“矩阵-线性变换-矩阵”模式.首页上页下页返回结束203.特征值与特征向量的求法利用线性变换的矩阵A,求出A的特征多项式()||fEA在给定数域中的根,即为所求特征值.()0EAX对特征值λ,求出齐次线性方程组的基础解系,以基础解系中解向量为坐标所得向量即为线性变换的属于特征值λ的全部线性无关的特征向量.(注:如果求矩阵A的特征向量,则基础解系中解向量即为所求的全部线性无关的特征向量)首页上页下页返回结束214.线性变换的对角化问题可以转化为相应矩阵的对角化问题.先求出矩阵A的特征值,如果A的每个特征值λ,方程组()0EAX的基础解系所含解向量的个数都等于λ的重数,则A可对角化,把n个解向量为列(次序与λ的次序相对应),作一个n级矩阵T,则1TAT是对角矩阵,且主对角线上元素是A的全部特征值.(注:特征值有几重,则在主对角线上就出现几次)首页上页下页返回结束22三、例题选讲221112212221,101(),,,,.ABPBABEEEE设对任意,令求在基下例的矩阵11112120()10010EAE100解11122122200EEEE首页上页下页返回结束2312122102()10001EAE010首页上页下页返回结束11122122020EEEE21212110()10100EAE00011122122000EEEE22222101()10000EAE00111122122000EEEE2411122122,,,EEEE所以在基下的矩阵为2010020110000100首页上页下页返回结束25设是上的线性空间是的一个线性变换证明如果是的一组基则是的例可逆1212,,,,,.:(),(),,(),.2ssVPVVV证因是的一组基所以也是的一组基.1212(),(),,(),,,,ssVV1122,()()()ssVkkk对则有.所以是满射1122()sskkk1122sskkkV其中()首页上页下页返回结束2611221122,,ssssVkkklll又设11221122()()()()()()()()sssskkklll则有()(),若,1,2,,iiklis则,于是.所以是单射.从而是双射.故是可逆变换首页上页下页返回结束273(P3231.3.):PnVV设是数域上维线性空间的一个线性变换证明是数乘变换的充要条件是在的任何基下的矩阵都相同例12,,,()..nijnnAaA证充分性设在基下的矩阵为只要证明为数量矩阵即可1212,(,,,)(,,,)nnXX设是任一可逆矩阵作121,,,,.nVXAX则也是的基在这个基下的矩阵是1,.XAXAAXXA由题设有即有首页上页下页返回结束28112,Xn取11,AXXA则由得1112111121212221221212222222nnnnnnnnnnnnnnaanaaaaaanaaaaaanananana首页上页下页返回结束29112nnnaaAa0,(),ijaij所以即又取20100001000011000X首页上页下页返回结束3022,AXXA则由得112222331,111000000000000000000000000nnnnnnaaaaaaaa1122nnaaaA所以，即为数量矩阵.故为数乘变换.,.kkE必要性设是数乘变换则在任意基下的矩阵都是数量矩阵首页上页下页返回结束3121,1,234,|27|.AAAE设是级矩阵的特征值计算行列式例1,1,2,.AA证因是矩阵的三个不同的特征值所以可对角化1112CAC,C于是存在可逆矩阵使得1.ACC则有2121|27||()27|AAECCCCE首页上页下页返回结束32211|27|CCCCE21|(27)|CEC2|27|E211112171221420首页上页下页返回结束1,1,2,:AA另解因是矩阵的三个不同的特征值所以相似于对角阵331122