线性空间习题课-2

线性空间习题课2一填空题1在线性空间中,向量组的秩为_________.4[]Px212341,1,1,1fxfxfxfx=+=−=+=−22将向量组12(1,2,1,1),(2,1,1,1)αα==扩充成的一组基,需添加的向量为__________________.4P3当且仅当_________时,是V的子空间.21VV∪4设维向量空间的两个子空间满足nnP12,VV12nVVP⊕=,则1dimdimVV2+=_______.5已知都是一线性空间的子空间,且321,,VVV,dimiidV=)3,2,1(=i,dVVV=++)dim(321,则_______)dim())dim((21321=++VVVVV∩∩.二计算题1设,与TTT)3,2,2,1(,)0,1,3,2(,)2,1,2,1(321−==−=ααα12(1,1,1,1),(1,0,1,1)TTββ==−,3(1,3,0,4)Tβ=−,令),,(3211αααLV=,),,(3212βββLV=,求2121,VVVV∩+.解:⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=010201101300000100010021411011301111302211232121),,,,,(321321βββααα则3),,(,3),,(321321==βββαααrr,4),,,,,(321321=βββαααr.),,,(232121βαααLVV=+,从而2)dim(21=VV∩.任给21VV∩∈ξ,则),,(3211332211αααβββξLVyyy=∈++=.则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−++−−++−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−++++−−=++23213213213212131321332211321522200010001012143302211232121),,,(yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyβββααα则,即02=y213311VVyy∩∈+=ββξ,从而),(3121ββLVV=∩.2已知两个齐次线性方程组(I)(II)1231242022xxxxxx++=⎧⎨++=⎩000123412342625xxxxxxxx−++−=⎧⎨−++−=⎩,(1)分别求方程组(I)和(II)的解空间和的维数和一组基,1V2V(2)求和的维数和各自的一组基.12VV+1VV∩23.设321,,εεε是3维线性空间V的一组基,令,,3223211εεηεεεη+=++=,33εη=(1)证明321,,ηηη是V的一组基,并求由基321,,εεε到基321,,ηηη的过渡矩阵;(2)求向量32132εεεα++=在基321,,ηηη下的坐标.证明:假若1122330kkkηηη++=,则112322333()()kkk0εεεεεε+++++=,即111221233()()kkkkkk0εεε+++++=,由于321,,εεε是一组基,则1121230kkkkkk=+=++=,解得1230kkk===,则321,,ηηη线性无关,是V的一组基.且.123123100(,,)(,,)110111ηηηεεε⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠(2).1123123123110011(,,)2(,,)1102(,,)1311131αεεεηηηηηη−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠三证明题1.设12,,,nααα是线性空间V的一组基,A是一个阶方阵,设n1212(,,,)(,,,)nnAβββααα=,(1)证明向量组12,,,nβββ的秩等于A的秩.(2)证明若A可逆,则12,,,nβββ也是V的一组基.(3)若12,,,nβββ是V的一组基,则A可逆.2.设为向量空间V的两个子空间.证明若1,WW22121=∪,则或.12WW⊆21WW⊆证明:任给112,WW2αα∈∈,则12121αα+∈+=∪,即12W1αα+∈或者12W2αα+∈,故由12W1αα+∈可知21Wα∈;由12W2αα+∈可知1W2α∈,即得或.12WW⊆21WW⊆3.设W是nR的一个非零子空间,而对于W的每一个向量来说,或者12(,,,)naaa120naaa====,或者每一个都不等于零.证明:iadim1.W=证明:假若不成立,则,即W中至少存在两个向量dim2W≥1212(,,,),(,,,)nnaaabbbαβ==线性无关,其中全非零,,iiab,αβ线性无关,不成比例,不妨设112aabb≠2,则222121222222(,,,)nnbabaabbaabbaabWαβ−=−−−∈,但是212122220,0baabbaab−≠−=,矛盾.4设1(,,)nfxxXA′=X是秩为r的半正定二次型,证明方程0XAX′=的全部解构成实数域上一个nr−维的线性空间.证明:半正定,存在非退化线性替换XCY=,使得()fX化为规范形2212()TTrgYYCACYyyy==++2+,故2221212()0()000rrfXgYyyyyyy=⇔=⇔+++=⇔====,对XCY=,设,则1()ijnCd−=(*),系数矩阵的秩为,基础解系含有向量的个数为,(*)的解空间的维数为,的全部解构成实数域上的线性空间就是(*)的解空间.11111221221122221122000nnnnrrrrnnydxdxdxydxdxdxydxdxdx=+++=⎧⎪=+++=⎪⎨⎪⎪=+++=⎩rnr−nr−0XAX′=