线性变换-习题课

线性变换(习题课)线性变换-习题课(2)线性变换的特征值和特征向量,矩阵的相似对角化.1(1)已知阶方阵nA的个特征值为nnλλλ,,,21,求AE−2的特征值及AE−2.(2)AXXλ=,则的特征值和特征向量如何?**,2AAAE++2的特征值,是否可以相似对角化.⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=3333222211111111A解λλλλλλλλλλλλλλλλ00000011710000300201111003333222211111111−−−−=−−−−−−−=−−−−−−−−−−−−−−−−=−AE)7(3−=λλ,得到特征值7),3(021==λλ.341)(−==−Ar,有个,可以相似对角化.33已知矩阵与相似,求111111bAba⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠000010004B⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,ab解相似矩阵有相同的迹,相同的行列式:25,3aa+==,21131(1)0,1111bAbbb==−−==⎟.4已知是方阵的特征值,求及010102010Aa⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠aA的其它特征值.解22Aa=−=0,故1a=.2101020(101EAλλλλλ−−−=−=−−−2)λ,特征值232λλ==.5设矩阵,已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=5334111yxAA有3个线性无关的特征向量,2=λ是A的二重特征值,求可逆矩阵P,使得APP1−为对角阵.解:A可相似对角化,从而,1)2(=−AEr111202000EAxxy−⎛⎞⎜⎟−→−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,从而,2,2−==yx63=λ,1线性变换(习题课)对应于2=λ的线性无关的两个特征向量为.TTXX)1,1,0(,)1,0,1(21==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−0002301112301110001332221156AE.对应于63=λ的线性无关的特征向量为,令,则有.TX)3,2,1(3−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311210101P⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−6221APP6设σ是线性空间的一个线性变换,在基的矩阵为3][xF2,,1xx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=121622323A(1)证明σ是一个可逆线性变换,求在基础的矩阵.1−σ2,,1xx(2)σ是否可以相似对角化,若可以,求一组基,使得σ关于此组的矩阵是对角形.证明(1)16364612126−=−−−++=A,A可逆,则σ可逆.在基础的矩阵为.1−σ2,,1xx1−A(2)λλλλλλλλλλλλλ2142200021214220202121622323−−−−=+−−−−−=+−−+−−−=−AE)4()2()82)(2(22+−=−+−=λλλλλ.得特征值4,2321−===λλλ.⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−0000003213216423212AE,得线性无关的特征向量.TTXX)1,0,3(,)0,1,2(21−==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=−−0002103213216223274AE,得线性无关的特征向量.TX)1,2,1(3−=令,则有.⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=110201132P⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−4221APP7已知有三个线性无关的特征向量,求00110100Ax⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟x.解由A的特征方程20110(1)(1)10EAxλλλλλ−λ−=−−=−+−,得到特征值1λ=(二重),1λ=−.2线性变换(习题课)因为A有三个线性无关的特征向量,故1λ=有二个线性无关的特征向量,则,从而()rEA−=11011010000101000EAxx−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠,得0x=.8已知是的逆矩阵11kα⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠211121112A⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟1A−的一个特征向量,求k解设0AXXλ=,则101AXXλ−=,故有题可列等式0Aαλα=,即02111112111211kλ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠k,展开即0003223kkkkλλλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,即2322kkk=+220,kk−=,解得.1,2kk==−++9已知三阶方阵A的特征值为1,,对应的特征向量分别为1,0−1231020,3,1121XXX−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠,求A.解取,则.102031121P−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠1110PAP−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠10设,15310acAbca−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠,有特征值*A0λ,对应的特征向量为111α−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠⎟,求有理数0,,,λcba.1A==解,则,即αλα0*=AαλαAAA0*=αλαAA0=,011531101acbcaλ−−⎛⎞⎛⎞111⎛⎜⎟⎜⎟⎜−=⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜−−−⎝⎠⎝⎠⎝000(1)1(2)1(1)1cabcaλλλ⎞⎟⎟⎟⎠,则有+−=⎧⎪−−=⎨⎪−−=−⎩,由1,2两个等式可得1,即1caca+−=−+ac=,代回可得01λ=,从而,3b=−111533533523310110100aaaaaaaAaaa−−−=−=−==−=−−−1−,得2a=.则,2ac==01λ=,3b=−.3线性变换(习题课)110λ是的三重特征值,求321365Aaaa−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟−⎝⎠⎟0,aλ.3213226800036536236EAaaaaaaaλλλλλλλλλλ−−−−−−=−+−=−+=−+−−−−−2λ−)(6)2(2)44aaλλλλλ+−+=−=−+02a2(2)((6)2aaλλλ=−+−+即,得222=λ=12已知线性变换:求特征值和对应的特征向量,能否相似对角化.2233:[][]:46(35)(36)PxPxabxcxababxabcxσ→++++−−+−−+6解取基21,,xx,则σ在21,,xx下的矩阵为.460350361A⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠2460350(1)(361EAλλλλλ−−−=+=−+−2)λ,得特征值1231,2λλλ===−对11λ=,,基础解系为,故360120360000360000EA−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−=→⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎠12201,001XX⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠2122,fxfx=−=是属于11λ=的线性无关的特征向量,全部特征向量为1122kfkf+,其中不全为零.12,kk对32λ=−,,基础解系为660110330011363000EA−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−=→−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎠3111X−⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟,故231fxx=−++是属于32λ=−的线性无关的特征向量,全部特征向量为333(0kfk)≠.有三个线性无关的特征向量,可以对角化.123,,fff是一组基,且σ在123,,fff下的矩阵为100010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.13已知有特征值1,,问225111aAb⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠31−A能否相似对角化,理由?4线性变换(习题课)125137(1)0112aEAba−−−−=−−−=−+=−解可得0EAEA−=−−=.则,得.1a=−312513620110EAbb−+=+=+=−2−3b=−,得.另一特征值为,有三个互异特征值,可以对角化.14已知可对角化,求.02135002aA−⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠a⎟22135(2)(002aEAλλλλ1)λ−−=−−−=−−−(2)1rEA解λ−=,求得10a=−,则.证明题AAEA=21设n阶方阵,判断是否可以相似对角化.满足A解,首先0))((2=−+=−EAEAEA有特征值1或者.1−0=−+EAEA,则nEArEAr≤−++)()()()()(EArEArEAEArn−++≤+−+=.同时,则.设nEArEAr=−++)()(rEAr=+)(rnEAr−=−)(,则.对1特征值,的基础解系含有0)(=−XAErrnn=−−)(rξξξ,,,21.个向量0)(=−−XAE对特征值,1−rn−nrrξξξ,,,21++.的基础解系含有个向量A又属于不同特征值的特征向量线性无关,从而有个线性无关的特征向量nnξξξ,,,21.令),,,(21nXξξξ=.则.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−rnrEEAXX001AA题目:设阶方阵n满足,判断AA=2是否可以相似对角化.A0)(2=−=−EAAAA有特征值或者1.0=−EAA0,首先,则且.设,则nEArAr=−+)()(rAr=)(rnEAr−=−)(.对1特征值,的基础解系含有0)(=−XAErrnn=−−)(rξξξ,,,21.个向量对特征值,的基础解系含有0)(=−XArn−nrrξξξ,,,21++0.个向量A又属于不同特征值的特征向量线性无关,从而有个线性无关的特征向量nnξξξ,,,21.5线性变换(习题课)令),,,(21nXξξξ=.则.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−0001rEAXX2设σ是线性空间V的一个线性变换,且满足(单位变换),,id=2σ(1)证明σ的特征值为1或者,1−(2),其中11−⊕=VVV}|{},|{11ασααασαα−=∈==∈=−VVVV,(3)证明存在V的一组基,使得σ在此组基下的矩阵为对角阵.证明:(1)假设σξλξ=22ξσξλξ==21λ=,特征值为1或者1−,则,故.(2)任给11VVα−∈∩,由1Vα∈可得σαα=,由1Vα−∈11{0}VV−=∩0α=σαα=−αα=−,故,,.可得112,假设12ααα=+,其中2σαασαα==−2.则121σασασααα=+=−,可求得1211(),()22αασααασα=+=−,即1111()()22VVαασαασα−=++−∈∩,从而.11−⊕=VVV(3)由(2)可知,的一组基1V1V−11−⊕=VVV12,,,rrnξξ++ξrξξξ,,,21与的一组基合起来是V的一组基,且,1,2,,iiirσξξ==,1,2,jjjrrn,σξξ=−=++1,,rξξ1,,rnξξ+σ;.故,在基下的矩阵是对角阵.00rnrEE−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠AEA=23设n阶方阵,满足A的特征值为1或者,1−(1)证明(2),其中1nPVV−=⊕1}11{|},{|nnVXPAXXVXPAXX−=∈==∈=−,A可以相似对角化.(3)证明4设n维线性空间V中的线性变换σ满足等式,E22=+σσ}2|{1ασαα−=∈=VV,}|{2ασαα=∈=VV,证明:.12VVV=⊕21VV∩∈α21xx+=α2211,VxVx∈∈21xx−=ααασα=−=20=α证明任取,则,则,设,,则,且)2(312ασα+=x)(311σαα−=x112xx−=σ222222)(xxxx+−=−=−=−ασασσαασ,代入,故,则,则)2(31)(31ασασααα++−=.6线性变换(习题课)5给出阶方阵可相似对角化的条件.1210000000000000naaAa−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎟nAA解:的特征值为0(重),故若n可相似对角化,则对应于0的线性无关的特征向量的个数为,即nA秩,即(0)0rEA−=()0rA=1210naaa−====,从而.可相似对角化的充要条件是6设为阶方阵,且,证明BA,n0=++ABBAABAB)()(BrAr=(1)的特征向量是公共的.(2)相似于对角阵,(3).与相似于对角阵当且仅当证明:,则0)(=++=++BBEAABBAEBEEA=++))((EEABE=++))((,从而,即BAAB=0=++BABA,从而.λααλλαλααααα++=++=++=AAAABBA)1(0λααλ−=+A)1(λαα=B(1)设,则,即αλλα)1(+−=ABA01=+λ0=α01≠+λ,则,矛盾,故,则.即的特征向量.同理.的特征向量是若AB相似于对角阵.(2)