2020年广东华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考-理科数学试卷与答案

1华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合1,24kMxxkZ==−∈，1,42kNxxkZ==+∈，则（***）A．=MNB．M⊂≠NC．N⊂≠MD．MN=∅2.原命题为“若12,zz互为共轭复数，则12zz=”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***）A．真，假，真B．真，真，假C．假，假，真D．假，假，假3.已知平面向量a，b是非零向量，2=a，()2⊥+aab，则向量b在向量a方向上的投影为（***）A.1−B.1C.2−D.24.平面∥α平面β的一个充分条件是（***）A．存在一条直线aaaαβ，∥，∥B．存在一条直线aaaαβ⊂，，∥C．存在两条平行直线abababαββα⊂⊂，，，，∥，∥D．存在两条异面直线abababαββα⊂⊂，，，，∥，∥5.函数2()log3sin()2π=−fxxx零点的个数是（***）A．2B．3C．4D．526.已知函数()sin2cos2=−fxaxbx（a，b为常数，0≠a，∈xR）在12π=x处取得最大值，则函数3π=+yfx是（***）A.奇函数且它的图象关于点,02π对称B.偶函数且它的图象关于点,02π对称C.奇函数且它的图象关于π=x对称D.偶函数且它的图象关于π=x对称7.已知函数()fx的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2=+yfx的图象关于y轴对称，若数列{}na是公差不为0的等差数列，且()()42016=fafa，则{}na的前2019项之和为（***）A．0B．2019C．4038D．40408．函数()2sincos2=+fxxx在,22ππ−上的单调减区间为（***）A．,26ππ−−和0,6πB．,06π−和,62ππC．,26ππ−−和,62ππD．,66ππ−9.函数()2112−−−=xxxf的值域是（***）A.44,33−B.4,03−C.[]0,1D.40,310.已知圆221xy+=，点(1,0)A，△ABC内接于圆，且60∠=BAC，当B，C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（***）A．2212xy+=B．2214xy+=C．221122+=xyxD.221144+=xyx11.已知双曲线2222:1xyCab−=的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MFFN=，则双曲线的离心率（***）A．233B．143C．2D.212.若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB，平面SBC，平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是（***）A．一条线段B．一个点C．一段圆弧D．抛物线的一段第二部分非选择题(共90分)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13.在区间[]0,2上分别任取两个数m，n，若向量(),=amn，()1,1=b，则满足1−≤ab的概率是***．14.已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nA和nB，且311+=+nnAnBn，则25837++=+aaabb***．15.已知随机变量X~B(2，p)，Y~N(2，σ2)，若P(X≥1)=0.64，P(0Y2)=p，则P(Y4)=***．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，22222=+bac，当()tan−BA取最大值时，角A的值为***．三、解答题：满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列{}na满足：21=a，241−=+−naann（2≥n）.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足：nnbbbb)12(73321−++++=na，求数列{}nb的通项公式.18.（本小题满分12分）某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（Ⅱ）用ξ表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PCAB=，求二面角ElC−−大小的取值范围.420.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1+=xyCab（0ab）的离心率为22，过左焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为21,33−．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M为C上一个动点，过点M与椭圆C只有一个公共点的直线为1l，过点F与MF垂直的直线为2l，求证：1l与2l的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()fx=ln,xaxa+∈R．（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x∈时，都有()0fx成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点(1,3)P可作多少条直线与曲线()yfx=相切？并说明理由．（二）选考题：共10分.请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为cossinxmtytαα=+=(t为参数，0)απ≤，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cosρθ=，射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=−，分别与曲线C交于,,ABC三点(不包括极点O)，其中(,)44ππϕ∈−．（Ⅰ）求证：2OBOCOA+=；（Ⅱ）当12πϕ=时，若,BC两点在直线l上，求m与α的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()222fxxaxa=+−+−．（Ⅰ）若()13f，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式()2≥fx恒成立，求实数a的取值范围.5数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.4π14.21515.0.116.6π三、解答题：满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由241−=+−naann（2≥n）可化为()()12220−−+−+=nnanan.令2=−nncan，则10−+=nncc，即1−=−nncc.因为12=a，所以1120=−=ca，所以0=nc，即20−=nan，故2.=nan……6分（若用不完全归纳，没有证明，可给4分）（Ⅱ）由()1233721++++−=nnnbbbba，可知()()11231137212−−−++++−=≥nnnbbbban，两式作差得()()12122−−=−=≥nnnnbaan，即()2221=≥−nnbn.……10分又当1=n时，也112==ba满足上式，……11分故221=−nnb.……12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设日销售量为x，“有2天日销售低于100枝，另外2天不低于150枝”为事件A.则()1000.002500.006500.4Px≤=×+×=，……1分()1500.005500.25Px≥=×=，……2分()22240.40.250.06.PAC∴=××=……4分题号123456789101112答案BCADBACBCDAA6（Ⅱ）日销售量不低于100枝的概率0.6=P，则()~4,0.6Bξ.……6分于是()()440.60.40,1,2,3,4.kkkPkCkξ−==××=……8分则分布列为ξ01234P166259662521662521662581625……10分()169621621681012342.4.625625625625625Eξ∴=×+×+×+×+×=……12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）//平面lPAC.……………1分证明如下：//EFAC，ACABC⊂平面，EFABC⊄平面，//平面∴EFABC.……………2分又EFBEF⊂平面，平面BEF与平面ABC的交线为l，//∴EFl．……………3分而,lPACEFPAC⊄⊂平面平面，//平面∴lPAC．……………………4分（Ⅱ）解法一：设直线l与圆O的另一个交点为D，连结DE，FB．由（Ⅰ）知，//BDAC，而,ACBCBDBC⊥∴⊥．PC⊥平面ABC，PCBD∴⊥．而PCBCC=，,BDPBC∴⊥平面又FBPBC⊂平面，BDBF∴⊥，FBC∴∠是二面角ElC−−的平面角．………………8分1tancosFCABFBCBCBCABC∠===∠．注意到0,0cos12ABCABCπ∠∴∠，tan1FBC∴∠．02FBCπ∠，(,)42FBCππ∴∠∈，7即二面角ElC−−的取值范围是(,)42ππ．………………12分解法二：由题意，AC⊥BC，以CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设AB=2，BC=t(02)t，则2(0,,0),(0,0,2),(4,,0)BtFDtt−，2(0,,2),(4,0,0)BFtBDt=−=−.…………6分设平面DBF的法向量为(,,)mxyz=，则由00mBFmBD⋅=⋅=得22040tyztx−+=−=，取2y=得(0,2,)mt=．易知平面BCD的法向量(0,0,1)n=，…………8分设二面角ElC−−的大小为θ，易知θ为锐角．22||12cos(0,)2||||441mntmnttθ⋅===∈⋅++，…………11分42ππθ∴，即二面角ElC−−的取值范围是(,)42ππ．…………12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知(,0)−Fc，直线AB的斜率存在.设11(,)Axy，22(,)Bxy，由于点A，B都在椭圆上，所以2211221+=xyab①，2222221+=xyab②①—②，化简得2221222212−−=−yybaxx③又因为离心率为22，所以2212=ba.…………2分又因为直线AB过焦点F，线段AB的中点为21,33−，8所以1243+=−xx，1223+=yy，12121323−=−−+yyxxc，代入③式，得1213324233×−=−+×−c，解得1=c.…………5分再结合222−=abc，解得22=a