向量的概念与性质

一．向量的概念与性质一．知识点1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a＞b”错了，而|a|＞|b|才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（yx,）,其中x、y满足2x2y＝1（可用（cos,sin）（0≤≤2π）表示）.⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.(平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连)①当两个向量a和b不共线时，ab的方向与a、b都不相同，且|ab|＜|a|＋|b|；②当两个向量a和b共线且同向时，ab、a、b的方向都相同，且||ba||||ba；③当向量a和b反向时，若|a|＞|b|，ba与a方向相同，且|ba|=|a|-|b|；若|a|＜|b|时,ba与b方向相同，且|a＋b|=|b|-|a|.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，ABBC0CA,（在△ABC中）CDBCAB0DA.(□ABCD中)⑷判定两向量共线的注意事项如果两个非零向量a，b，使a=λb（λ∈R），那么a∥b；反之，如a∥b，且b≠0，那么a=λb.这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与λb的方向规定为平行.（4）向量的数乘运算的定义：数乘运算模的大小为：（6）数量积的8个重要性质（cosbaba）①两向量的夹角为0≤≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.②设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则)1||.(cos||eaeaae③ba0ba（∵=90°，)0cos④在实数运算中ab=0a=0或b=0.而在向量运算中ba=0a=0或b=0是错误的，故0a或0b是ba=0的充分而不必要条件.⑤当a与b同向时ba=||||ba(=0,cos=1);当a与b反向时，ba=-||||ba(=π,cos=-1)，即a∥b的另一个充要条件是||||||baba.特殊情况有2aaa=2||a.0,0,00.aaaaa（5）当与的方向相同；当的方向与的方向相反；当，或||a=aa=2a=22yx.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x,1y),(2x,2y),则||a=221221)()(yyxx⑥||||||baba。（因1cos）⑦数量积不适合乘法结合律.如).()(cbacba（因为cba)(与c共线，而)(cba与a共线）⑧数量积的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且cbca并不能得到ba这是因为向量不能作除数，即c1是无意义的.二．课堂训练1．下列各式计算正确的有（）(1)(－7)6a=-42a(2)7(a+b)－8b=7a+15b(3)a－2b+a+2b=2a(4)若a=m+n,b=4m+4n,则a∥bA．1个B．2个C．3D．4个2．化简)]24()82(21[31baba的结果是（）A．ba2B．ab2C．abD．ba3．下列各式叙述不正确的是（）A．若a≠λb,则a、b不共线(λ∈R)B．b=3a(a为非零向量),则a、bC．若m=3a+4b,n=23a+2b,则m∥nD．若a+b+c=0,则a+b=-c4．对于菱形ABCD，给出下列各式：①BCAB②||||BCAB③||||BCADCDAB④||4||||22ABBDAC2其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知向量ba与反向，下列等式中成立的是（）A．||||||babaB．||||babaC．||||||babaD．||||||baba6．在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）A．AB与AC共线B．DE与CBC．AD与AE相等D．AD与BD相等7．已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于()A．3B．－3C．0D．28．已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|等于（）A．0B．3C．2D．229.已知a、b是非零向量且满足bababa)2(,)2(，则a与b的夹角是（）A．6B．3C．32D．6510.若非零向量ba,互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A．babaB．||||babaC．0))((babaD．0)(2ba11．已知菱形ABCD的边长为2,求向量AB－CB+CD的模的长._____________________。12．已知baba,,3||,4||的夹角为120°，且bac2，bkad2，当ac时，k=.二．向量的坐标形式一．知识点若1122(,),(,)axybxy则ab特别地：ab若//ab，则a=若ab，则aba=cos1122(,),(,),AxyBxyAB二．课堂训练1.已知(2,3),(,),(1,4),ABBCxyCDDA则2.设(1,3)(8,1),(21,2)ABCaaABa和若点在直线上，则3.设点(2,3),(5,4),(7,10),()ABCPAPABACR点满足（1）当时，点P在第一、三象限角平分线上；（2）当时，点P在第四象限.4.已知向量(1,1),(13,13),abab则向量与的夹角为5.设向量(,3),(2,1),axbab与与的夹角为钝角，则x的取值范围为6.已知向量(3,1),(1,2),(2)(),ababakbk若则实数=7.已知向量(1,2),(,1),2,2abxuabvab，根据下列情形求x：（1）若//uv_________________________（2）若uv._________________________8.已知向量(1,2),(,1),22abxababx若与平行，则=9.设向量(3,4),//,1,abbabb向量满足则=10.在(1,2),(2,1)ABCABAC中，已知，则ABC的面积为11.平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1).abc（1）求32abc；（2）求满足ambnc的实数,mn；（3）若//2akcbak，求实数；（4）设(,)//1,.dxydcabdcd满足且求12.设向量121212,43,(1,0),(0,1).aeebeeee其中（1）试计算abab及的值；（2）求向量ab与夹角的大小.单元测试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、若向量方程23(2)0xxa，则向量x等于A、65aB、6aC、6aD、65a2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是A、a与b为平行向量B、a与b为模相等的向量C、a与b为共线向量D、a与b为相等的向量3、ABBCADA、ADB、CDC、DBD、DC4、下列各组的两个向量，平行的是A、(2,3)a，(4,6)bB、(1,2)a，(7,14)bC、(2,3)a，(3,2)bD、(3,2)a，(6,4)b5、若P分AB所成的比为43，则A分BP所成的比为A、73B、37C、73D、376、已知(6,0)a，(5,5)b，则a与b的夹角为A、045B、060C、0135D、01207、已知i，j都是单位向量，则下列结论正确的是A、1ijB、22ijC、i∥jijD、0ij8、如图，在四边形ABCD中，设ABa，ADb，BCc，则DCA、abcB、()bacC、abcD、bac9、),4,3(),1,2(ba则向量a在向量b方向上的投影为A、52B、2C、5D、1010、在ABC中，3b，33c，030B，则aA、6B、3C、6或3D、6或4二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11、已知)2,3(M，)0,1(N，则线段MN的中点P的坐标是________。12、设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，下列向量组：（1）AD与AB；（2）DA与BC；（3）CA与DC；（4）OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组可以是________________。13、已知)8,7(A，)5,3(B，则向量AB方向上的单位向量坐标是________。14、在ABC中，8AC，5BC，面积310ABCS，则BCCA=________。CBAD三、解答题：（本大题共3小题，共44分）15、已知3a，(1,3)b，（1）若ab，求a；（2）若a∥b，求a。16、已知3a，4b，a与b的夹角为43，求(3)(2)abab。17、已知：(cos,sin).(cos,sin)abab与互相垂直.参考答案一、选择题：CDDDBCBABC二、填空题：11、（1，-1）12、（1）、（3）13、)53,54(14、20三、解答题15、（1）333(,)22a或333(,)22a（2）333(,)22a或333(,)22a16、2243717.a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)a－b=(cosα－cosβ，sinα－sinβ)∴(a+b)·(a－b)=(cosα+cosβ)(cosα－cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα－sinβ)=cos2α－cos2β+sin2α－sin2β=1－1=0∴(a+b)⊥(a－b).