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高等代数备课资料第3节线性相关性§3线性相关性这一节考查向量之间的关系.1.线性组合:(1)定义:设数域上的维向量空间PnnP,取,若存在,使得nsP∈αβββ,,,,21Pkkks∈,,,21sskkkβββα+++=2211,称α是向量组sβββ,,,21的一个线性组合,或称α可以由向量组sβββ,,,21线性表出,此时称是表出系数.skkk,,,21例:取)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321−−=−=−=ααα为实维向量.4321)1,4,1,2()4,5,2,4()3,9,3,6()4,5,2,4()1,3,1,2(33ααα=−−=−−−=−−−=−.即说明3α可由21,αα线性表出,或者3α是21,αα的一个线性组合.3213ααα=−,3213123,3αααααα+=−=,3213131ααα+=.(2)如何判断3α是或者不是21,αα的一个线性组合.假设是,则存在一组数使得21,kk22113αααkk+=,代入)4,53,2,42()4,5,2,4(),3,,2()1,4,1,2(2121212122221111kkkkkkkkkkkkkkkk++−−+=−+−=−−根据向量的相等得到,是一个关于的方程组,求解,有解,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+=+−=−−=+144531224221212121kkkkkkkk21,kk3α是21,αα的一个线性组合,无解,则3α不是21,αα的一个线性组合.求解得到:.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+=+−=−−=+144531224221212121kkkkkkkk→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−==+=+002245324222121kkkkk→⎩⎨⎧−==1321kk注:(1)表出系数可以不唯一.如)2,4,2(),1,2,1(21−−−==αα,则21210002αααα+==+.(2)表出系数没有什么具体要求:表出系数全为零,表出系数不全为零,表出系数全不为零.等等.)1,3,1(),1,2,1(21==αα,,零向量在用)0,0,0(0=21,αα表出时,系数全为零.)1,3,1(),1,2,1(21==αα,)2,4,2(3=α,21302ααα+=.(3)零向量可由任意一个向量组线性表出.sβββ000021+++=.(4)如何判断一个向量是否可由一个向量组线性表出.实际上是求一个向量方程.解释一下:1高等代数备课资料第3节线性相关性设),,,(,),,,,(),,,,(21222212112111snsssnnaaaaaaaaa===βββ,),,,(21nbbb=α.即向量方程1122ssxxxαββ=+++β是否有解.),,,(),,,(),,,(),,,(21222222121112111121snsssssnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxbbb+++=.),,,(),,,(22112222121121211121snsnnssssnaxaxaxaxaxaxaxaxaxbbb+++++++++=即,是关于个未定元,个方程的方程组,求解方程组,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nnsnnnssssbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222211211221111sn有解,则能够表出.无解,则不能表出.系数矩阵的每一列是个向量竖着摆在一起.s(5)在nP中,特殊的向量:)1,,0,0,0(,),0,,0,1,0(),0,,0,0,1(21===nεεε.)1,,0,0,0()0,,0,1,0()0,,0,0,1(212211nnnaaaaaa++=+++εεε),,,,(),,0,0,0()0,,0,,0()0,,0,0,(32121nnaaaaaaa=++=,反之任给一个维向量n),,,,(321naaaa=α,则有nnaaaεεεα+++=2211.称nεεε,,,21为标准维单位向量.n2.向量组之间的线性组合.定义:取向量组(I):sααα,,,21和(II):tβββ,,,21,若向量组(I)中任一向量iα可由向量组(II)线性表出,称向量组(I)可由向量组(II)线性表出.若向量组(I)与向量组(II)可以互相线性表出,则称向量组(I)与向量组(II)等价.例子:取)1,1,0(),2,0,1(),0,2,1(),1,1,1(2121−====ββαα,容易得到121)1,1,1(αββ==+,221)0,2,1(2αββ==+.212ααβ+−=,2112ααβ−=.向量组之间的这种等价的定义是一种等价关系.即满足反身性,对称性和传递性.[反身性:自己和自己满足.对称性:若和AB,则B和.传递性:若和AAB,B和,则和C.]CA对于向量组的等价关系来说.(1)sααα,,,21与sααα,,,21等价.(2)若sααα,,,21与tβββ,,,21等价,则tβββ,,,21与sααα,,,21等价.(3)若sααα,,,21与tβββ,,,21等价,tβββ,,,21与lγγγ,,,21等价,则sααα,,,21与lγγγ,,,21等价.事实上,假设,,则siatjjiji,,2,1,1==∑=βαtjblkkjkj,,2,1,1==∑=γβ2高等代数备课资料第3节线性相关性sibabalkktjjkijtjlkkjkiji,,2,1,1111=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==∑∑∑∑====γγα.3.线性相关和线性无关.(1)定义:a)设nP中的向量组sααα,,,21,若存在数域中一组不全为零的数,使得Pskkk,,,2102211=+++sskkkααα,则称向量组sααα,,,21线性相关.b)对向量组)2(,,,21≥ssααα,若sααα,,,21中存在一个向量可由其余向量线性表出,则称向量组sααα,,,21线性相关.若sααα,,,21线性相关,则有不全为零,使得skkk,,,2102211=+++sskkkααα,不妨设01≠k,则sskkkααα−−−=2211,从而sskkkkααα12121−−−=,即1α可由其余向量sαα,,2线性表出.反之若sααα,,,21中存在一个向量可由其余向量线性表出,不妨设1α可由其余向量sαα,,2线性表出,则存在一组数,使得skk,,2sskkααα++=221,则0221=−−−sskkααα,即存在一组不全为零的数,使得skk,,,12sααα,,,21的线性组合为零.例:)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321−−=−=−=ααα.3213ααα=−,03321=−−ααα.321,,ααα线性相关.(2).定义:a)对向量组sααα,,,21,假若02211=+++sskkkααα,有021====skkk,则称向量组sααα,,,21线性无关.b)对向量组)2(,,,21≥ssααα,若sααα,,,21中任意一个向量都不能由其余向量线性表出,则称向量组sααα,,,21线性无关.c)若不全为零,则skkk,,,2102211≠+++sskkkααα.(3)线性相关和线性无关的性质1)含有零向量的向量组一定线性相关.2)两个向量21,αα线性相关两个向量成比例,即⇔21ααk=或者12ααl=.3)1α线性相关⇔01=α.4)1α线性无关⇔01≠α.5)nεεε,,,21线性无关.3高等代数备课资料第3节线性相关性6)整体和部分的关系:取srrααααα,,,,,,121+.其中rααα,,,21称为srrααααα,,,,,,121+的部分组,称srrααααα,,,,,,121+为整体,而称rααα,,,21为部分.有整体和部分的关系:部分线性相关整体线性相关;整体线性无关部分线性无关.⇒⇒4.线性方程组的另一形式(*),.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111sibxainjjij,,2,1,1==∑=系数矩阵记为111212122212nnsssnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠###⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nxxxx#21,记,,则有⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=sbbb#21ββ=Ax.记,则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=snnnnssaaaaaaaaa###21222122121111,,,ααα11121212221212(,,,)nnnsssnaaaaaaAaaaααα⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠###β=Ax,.即βααα=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nnxxx#2121),,,(βααα=+++nnxxx2211.这称为是向量形式的方程组.其中未定元的个数是,方程的个数为,向量是维的列向量.nss反过来,假设有个向量s),,,(,),,,,(),,,,(21222212112111snsssnnbbbbbbbbb===βββ),,,(21nbbb=β.看ββββ=+++ssxxx2211.这也是一个方程组,有几个方程,几个未定元.系数矩阵是什么?未定元个,方程有n个,系数矩阵是是一个s112111222212ssnnsnbbbbbbAbbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠###sn×矩阵.5.如何判断向量的线性相关性和线性无关性.给出向量组sααα,,,21,给出一个向量β.(1)sααα,,,21线性相关⇔02211=+++ssxxxααα有非零解.sααα,,,21线性无关⇔02211=+++ssxxxααα只有零解.4高等代数备课资料第3节线性相关性(2)β可由sααα,,,21线性表出⇔βααα=+++ssxxx2211有解.β不能由sααα,,,21线性表出⇔βααα=+++ssxxx2211无解.6.例子例1:)1,4,1,2(),4,5,2,4(),1,3,1,2(321−−=−=−=ααα问题:(1)用21,αα线性表出3α.(2)判断321,,ααα的线性相关性.解:设22113αααxx+=,则.⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−14124153214221xx⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−000000110301000110220121141453121242,解得:1,321−==xx,设0332211=++αααxxx,则,有解.从而线性相关.0141453121242321=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−xxx例2:设321,,ααα线性无关,证明133221,,αααααα+++也线性无关.证明:假设有0)()()(133322211=+++++ααααααkkk,则0)()()(332221131=+++++αααkkkkkk.由于321,,ααα线性无关,则0322131=+=+=+kkkkkk.可得0321===kkk.从而133221,,αααααα+++也线性无关.反证法:假设线性相关,则存在不全为零的数,使得321,,kkk0)()()(133322211=+++++ααααααkkk.从而0)()()(332221131=+++++αααkkkkkk,由于321,,ααα线性无关,则0322131=+=+=+kkkkkk,即0321===kkk,矛盾,故133221,,αααααα+++也线性无关.例3:若向量组sααα,,,21线性无关,但是βααα,,,,21s线性相关,证明β可由向量组sααα,,,21线性表出,且表出系数唯一.证明:由βααα,,,,21s线性相关知存在一组不全为零的数,使得kkkks,,,,215高等代数备课资料第3节线性相关性02211=++++βαααkkkkss,假设0=k,则02211=++++βαααkkkkss,即02211=+++sskkkααα,由于不全为零,从而不全为零,故kkkks,