电子教案-第5章-二次型

高等代数备课资料第五章二次型第五章二次型§1二次型及其矩阵表示1.二次型.1)定义:设数域P,是一组未定元,数域nxxx,,,21P上一个关于未定元的一个元二次齐次多项式nxxx,,,21nnnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222),,,(++++=222422432232222222nnnnnxaxxaxxaxxaxa+++++++称为数域P上的一个n元二次型(二次型).例如:.2322312121321422),,(xxxxxxxxxxf++++=2231212132122),,(xxxxxxxxxf+++=.23223121321422),,(xxxxxxxxxf+++=,.2322213214),,(xxxxxxf++=注:(1)的系数即为.jixxija2(2)在二次型的表示中,系数,而没有这些系数.)(jiaij≤)(jiaij≥(3).∑∑≤≤=+=nnjijiijniiiinxxaxaxxxf112212),,,(2)二次型的矩阵:设,由于,则)(jiaajiij=ijjixxxx=ijjijiijjiijxxaxxaxxa+=2,从而2121111212131311(,,,)nnnfxxxaxaxxaxxaxx=++++221212222323222nnaxxaxaxxaxx++++++2332211nnnnnnnnnxaxxaxxaxxa+++++,1nijijijaxx==∑令矩阵,,则.nijaA)(=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nxxxX#21AXXxxxAxxxxxxfTnnn=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=#212121),,,(),,,(其中A满足,是一个对称阵.称AAT=A为二次型的矩阵.AXXXfT=)(首先二次型矩阵的元素.由的得来,可知的主对角线位置上的元素是二次型中平方项的系数.AA而的主对角线之外的元素是二次型中交叉项的系数的一半,其中矩阵位置的元素是交叉项的系数的一半.A),(jijixx1高等代数备课资料第五章二次型反之,任给一个对称阵,式子即可定义二次型,且此二次型的矩阵即为对称阵AXXXfT=)(A,但是有点需要注意的,任给一个方阵A,都是一个二次型,展开式中只有未定元的平方项与交叉项,与上面不同的是此二次型的矩阵不一定是.AXXXfT=)(A二次型的矩阵是唯一的.例子:(1)设.23434222413121214321423242),,,(xxxxxxxxxxxxxxxxxf+−++−++=此二次型的矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=01140202121123212321A.23223231212143214242),,,(xxxxxxxxxxxxxf++−++=此二次型的矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=01140202121123212321A.(2)设对称阵,则二次型为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=1130130230200201A24432342223121432123624),,,(xxxxxxxxxxxxxxf+++−++=.取矩阵,可得二次型,而二次型的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=222231321A23322231212132124353),,(xxxxxxxxxxxxf+++++=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛2223125232523.2.非退化线性替换.(1)定义:设两组未定元与,如下关系式:nxxx,,,21nyyy,,,21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111称为有未定元到未定元的一个线性替换.nxxx,,,21nyyy,,,212高等代数备课资料第五章二次型形式的乘法:11112122122212nnnnnnn12nxcccyxcccyxcccy⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠#####,记为CYX=.若C非退化,即可逆,则称是一个从CYX=X到Y的非退化的线性替换.任给二次型,任给线性替换AXXXfT=)(CYX=,看经线性替换变成什么?AXXXfT=)(CYX=由于二次型中只有平方项和交叉项的形式,2ix:,展开后出现的形式,,也是只有平方项和交叉项.22211)(niniiycycyc+++2jyjiyyjixx:))((22112211njnjjniniiycycycycycyc++++++.展开后出现的形式也是只有平方项和交叉项.所以经线性替换变成另一个二次型.则这个二次型的矩阵是:AXXXfT=)(CYX=对二次型,取线性替换AXXXfT=)(CYX=,代入得到,即,记为.AXXXfT=)(ACYCYCYfT)()(=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛====nTnTTTyyyACCyyyACYCYACYCYCYfYg#2121),,,()()()(由于,即是一个对称阵,从而二次型的矩阵就为.ACCCACACCTTTTT==)(ACCT)(YgACCT3.合同矩阵.(1)定义:取同阶方阵,若存在一个可逆矩阵C,使得,则称矩阵BA,ACCBT=B与A合同.(2)矩阵的合同是一种等价关系非退化的线性替换把二次型变成二次型,且二次型的矩阵合同.设)()()(1XfAXXACYCYYgAXXXfTXCYTTCYXT=⎯⎯⎯→⎯=⎯⎯→⎯=−==AACCACTC⎯→⎯⎯→⎯−1反之,取对称阵A,取可逆阵C,有对称阵,ACCBT=AXXXfT=)(⎯⎯→⎯=CYXBYYYgT=)(3高等代数备课资料第五章二次型§2二次型的标准形1.配方法.取222221222121)()(2xabcxabxacxxbxax−++=++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=22211xyxabxy,则22221222121)(2yabcaycxxbxax−+=++.此时,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2121101xxabyy,或者⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2121101yyabxx,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛abcacbba2002.二次型的标准形.定理:数域上的任一元二次型都可经非退化线性替换化成平方和的形式:.称为二次型的标准形.Pn2222211nnydydyd+++证明:对未定元的个数归纳.,1n=2111()1fxax=,已经是标准形.假设对1−n成立.对元二次型.二次型的矩阵记为.n∑==njijiijnxxaxxxf1,21),,,(A1)假设,仅把看成未定元,其余的暂时不看做未定元,配方011≠a1x∑=+++++=njijiijnnxxaxxaxaxaxaXf2,113132122111)222()(∑∑==++=njijiijniiixxaxxaxa2,1212111)2(),,,()()()(3212211111112211112,221111111nniiiniiinjijiijniiixxxfxaaxaxaaxxaxaaxa++=−++=∑∑∑∑=−=−==−其中是一个∑==njijiijnxxbxxxf2,321),,,(1−n元二次型,应用归纳假设,存在非退化的线性替换化为标准形.111XCY=2233222nnydydyd+++对,假设.令,111XCY=22223233233323nnnnnnnycccxycccxycccx⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠#####23n11111112111222222100nnnnnnnyxaaaayxccyxcc−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠#####记为,这是一个非退化的线性替换,在它之下,原二次型变成.CXY=22332222111nnydydydya++++注:(1)22332222111)()(1nnYCXTydydydyaYgAXXXf++++=⎯⎯⎯→⎯=−=4高等代数备课资料第五章二次型二次型的矩阵.11211)(1−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯−ACCddaATnC%(2)111211222211112nnTnnnnaaaaaaaAAaaaαα⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠###,AAT=.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛111111111AaAaAaTTTTTαααααα.故.11AAT=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−==∑∑∑=−==nnniiinjijiijnjijiijnxxBxxxaaxxaxxbxxxf#222211112,2,321),,()(),,,(21313212111212)(),,(nnnnxaxaxaaxxAxx+++−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−#⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−nnnnnnxxaaaaxxaxxAxx###21121122111212),,(),,(),,(()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−nTnxxaAxx#211112),,(αα,ααααTTTTaAaA11111111)(−−−=−,对称,故,就是的矩阵.BaAT=−−αα1111),,,(321nxxxf应用归纳假设,由,即,有.111XCY=1111YCX−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−−−−nTTdddCaAC%3211111111)()(αα(3)11211)(1−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯−ACCddaATnC%1111121111222111210100nnnnnaaaaccaCCccα−−−⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠###111111111111111111111111111101010101)(−−−−−−−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=CaAaCaCaAaCaACCTTTTTTαααααααα5高等代数备课资料第五章二次型1111111111111110100100101−−−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=nTTnTEaCAaCEaαααα111111111111111110010101001−−−−−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=CEaAaEaCnTnTTαααα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−−−−1111111111111110010101)(001CEaAaEaCnTnTTαααα⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−−nTTddaCaACa%2111111111111)()(00αα.(4)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎯⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−−+−−αααααααααTaTTaTaAaaAaAaT111111)(12111111)(12111000111111⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎯⎯→⎯⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎯⎯⎯→⎯−−−−−−−1111111111)(211111111)(2)()(00)()(001111CaACaaACaTTCTTCTαααα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−1111111111111111111111111)()(000010101)(001CaACaCEaAaEaCTTnTnTTαααααα.2),但是中有一个非零.设011=annaaa,,,33220≠kka.同1),将看做是未定元,而其余的不看做是未定元,应用配方法.kx简单的例子.取212212222121)()(2xcbxcxcbacxxbxax++−=++.令⎪⎩⎪⎨⎧+==12211xcbxyxy,则2