一类涉及分担值的亚纯函数正规族

PureMathematics理论数学,2018,8(2),182-191PublishedOnlineMarch2018inHans.://doi.org/10.12677/pm.2018.82023文章引用:廖华婷,张莎莎.一类涉及分担值的亚纯函数正规族[J].理论数学,2018,8(2):182-191.DOI:10.12677/pm.2018.82023NormalFamiliesofMeromorphicFunctionsSharingValuesHuatingLiao,ShashaZhang*HubeiKeyLaboratoryofAppliedMathematics,FacultyofMathematicsandStatistics,HubeiUniversity,WuhanHubeiReceived:Mar.5th,2018;accepted:Mar.19th,2018;published:Mar.27th,2018AbstractInthispaper,wediscussthenormalityoffamiliesofmeromorphicfunctionsconcerningsharedvalues.Anormalcriterionforfamiliesofmeromorphicfunctionswhichsharevalueswiththeirfirstderivativeisgiven,wherethesharedvaluescanbeflexiblewiththerelatedfunctions.Thisresultgeneralizesaformernormalcriterioninwhichthesharedvaluesarefixed.Moreover,westudysomeothersimilarresults.KeywordsMeromorphicFunctions,SharedValues,NormalFamilies一类涉及分担值的亚纯函数正规族廖华婷，张莎莎*湖北大学数学与统计学学院，应用数学湖北省重点实验室，湖北武汉收稿日期：2018年3月5日；录用日期：2018年3月19日；发布日期：2018年3月27日摘要本文研究涉及分担值的亚纯函数族正规性准则。给出了一类涉及亚纯函数及其一阶导数分担值的正规族定则，其中的分担值依赖于函数族中的函数。本文的结论推广了已有的一个亚纯函数族关于固定分担值*通讯作者。廖华婷，张莎莎DOI:10.12677/pm.2018.82023183理论数学的正规定则。进一步地，我们研究了其它类似的亚纯函数族正规定则。关键词亚纯函数，分担值，正规族Copyright©2018byauthorsandHansPublishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).引言20世纪初期，P.Montel引入了正规族的概念，表示一个全纯或亚纯函数族的某种列紧性。设F为区域D内一族亚纯函数，如果函数族中任取一个函数列(){},1,2,nfzn=都存在子序列(){},1,2,,knfzk=在区域D中按球面距离内闭一致收敛，则称函数族F在区域D内正规([1])。Montel把正规族和函数的取值问题联系起来，证明了著名的Montel正规定则：设F为区域D内的一个亚纯函数族，,,abc为三个互不相等的复数，若对于任意的fF∈有,,fafbfc≠≠≠，则F在D内正规。Caratheodory在文献[2]中把Montel正规定则中固定的复数推广到可随fF∈变动的复数,,fffabc，两两之间的球距有一致下界()0ε，即：()()(){}min,,,,,ffffffabbcacσσσε≥(ε为一个正实数)，对任意fF∈，若,,ffffafbfc≠≠≠，则F在D内正规。除了涉及例外值的亚纯函数族的正规性，把亚纯函数正规族与分担值结合起来考虑也是亚纯函数正规族理论研究的一个重要课题，这方面工作最早从Schwick开始，之后国内外很多学者对这方面的问题进行了深入的研究。1992年，Schwick研究亚纯函数及其导数分担值相关的正规族问题，证明了以下结论([3])：定理A：设F为区域D内的一族亚纯函数，123,,aaa是三个判别的有穷复数，若对于F中的任意函数f，f和f′在D内分担123,,aaa，则F在D内正规。2000年，庞学诚和Zalcman在[4]中对Schwick的结果做了改进，得到如下结论：定理B：设F为单位圆盘∆内的亚纯函数族，a，b，c为互不相等的复数且0c≠。若对于任意的fF∈有()()0ffEEa′=，()()ffEbEc′=，则F在∆内正规。定理C：设F是区域D内的一个亚纯函数族，a，b，c和d是有穷复数且满足ca≠及db≠。若对于F中的任意函数f，()()fzafzb′=⇔=，()()fzcfzd′=⇔=，则F在D内正规。以上正规定则中所涉及的分担值都为固定复数。根据Caratheodory([2])的思想，Singh等人2004年在文献[5]中把定理B中固定的分担值推广为可随所对应函数而变动的分担值，得到如下结论：定理D：设F为单位圆盘∆内的一个亚纯函数族，M是常数，a，b，c为定值且2abMc=，对于任意fF∈，若存在非零复数,,fffabc满足()()(){}min,,,,,ffffffabbcacmσσσ≥，(0m)，且2fffabMc=，使得()()0fffEEa′=，()()ffffEbEc′=，则F在∆内正规。其中，()ffEc和()0fE分别为以下两个方程的解：()()211fffabafzfzacca′=−−,()()211fffafzafzcca′=−−OpenAccess廖华婷，张莎莎DOI:10.12677/pm.2018.82023184理论数学关于分担值可随函数而变动的正规定则，陈玮等人在2016年证明了如下结论([6])：定理E：设F为区域D内的一个亚纯函数族，n为正整数，若对于任意的fF∈，存在非零复数fa，fb，和fc∈，1nffca+=，满足条件：1)()()(){}min0,,0,,,ffffbcbcσσσε≥(ε为一个正实数)；2)ffbc相对于f独立，使得nffffafb′′=⇔=，则F在D内正规。定理F：设F为区域D内的一个亚纯函数族，n为正整数，若对于任意的fF∈，存在非零复数fa，fb，fα，fβ和fc∈，1nffcα+=，满足条件：1)()()(){}min,,,,,ffffffabacbcσσσε≥(ε为一个正实数)；2)ffac，ffbc，ffcβ相对于f独立，使得nfffffbα′′=⇒=，fffafβ′=⇒=，则F在D内正规。本文进一步考虑分担值可随所对应函数而变动的正规族定则，对定理C做了推广，得到以下结论：定理1：设F是区域D内的一个亚纯函数族，若对任意函数fF∈，存在复数()0fa≠，fb，fc，fd，(ffac≠，ffbd≠)，满足条件：1)()()(){}min,,,,,ffffffabacbcσσσε≥(ε为一个正实数)；2)ffba，ffca，ffda相对于f独立，使得fffafb′=⇔=，fffcfd′=⇔=，则F在D内正规。类似地，考虑方明亮和L.Zalcman在文献[7]中所证明的涉及高阶导数分担值的正规族定则：定理G：设F是区域D内的一亚纯函数族，a，b是两个非零有穷复数，k是一个正整数。若对于F中的任意函数f，f的零点的重数至少为1k+，()()()kfzafzb=⇔=，则F在内正规。本文对定理G做了推广，得到与定理1类似的结论：定理2：设F是区域D内的一个亚纯函数族，k是一个正整数，若对于任意的fF∈，f的零点的重数1k≥+，存在非零复数fa，fb满足条件1)()()(){}min,,,0,,0ffffababσσσε≥(ε为一个正实数)；2)ffba相对于f独立，使得()()()kfffzafzb=⇔=，则F在D内正规。2.预备知识定义1：([8])设,ab∈，称非负实数(),abσ为a与b之间的球面距离，其中(),abσ定义如下()222,,;11,1,,;10,,.abababababaabσ−≠∞≠∞++=≠∞=∞+=∞=∞定义2：([9])设()fz和()gz为区域D内的非常数亚纯函数，a是一个复数，若()fza−与()gza−在区域D内有相同的零点，且零点的重数相同（不计重数），则称()fz和()gz在区域D内分担aCM(IM)，记为：faga=↔=(faga=⇔=)。此时，a称为()fz与()gz的CM(IM)公共值。一般地，令()(){}:fEazDfza=∈=表示()fza−的不计重数的零点集合；()fEa表示()fza−的计重数的零点集合。所以，如果()()fgEaEa=，则faga=⇔=；如果()()fgEaEa=，则faga=↔=。引理1：([8])设F是区域D内的一族亚纯函数，F中的每个函数的零点重数至少是k，并且1)若()0fz=，必有()()kfzA≤；廖华婷，张莎莎DOI:10.12677/pm.2018.82023185理论数学2)F在单位圆内不正规，那么对于每一个α，0kα≤≤，存在a)实数r，01r；b)点列nz，nzr；c)函数列nfF∈；d)正数列0nρ+→使得函数()nnnnfzαρξρ+在上按球距内闭一致收敛于一个亚纯函数()gξ，并且()()##01ggkAξ≤=+。其中，()#gξ表示球面导数，即()()()#21gggξξξ′=+。引理2：([6])设ε为任意正数，L是一个Mobius变换，若存在常数a，b，c，使得L满足()()()()()()()()(){}min,,,,,LaLbLbLcLcLaσσσε≥则L满足一致Lipschitz’s条件，即()()()(),,LzLkzεσωσω≤其中，kε是依赖于ε的常数。引理3：([8])设f是一个有穷级超越亚纯函数，k是正整数，()pz(不恒等于0)是多项式。若f的零点重级均不小于1k+，则()()()kfzpz−有无穷多个零点。引理4：([8])设()()()110nnnnpzfzazazaqz−−=++++，01,,,naaa是常数，0na≠，()pz，()qz是两个互素的多项式，且degdegpq，k是一正整数，若()()1kfz≠，则有1)nk=，且!1nna=；2)()()1011!kmfzzazakazb=+++++；3)若()fz的零点的重级均不小于1k+，则结论(2)式中1m=，且()()1kczdfzazb++=+，其中a，b，c，d是常数，0a≠，0c≠。引理5：([10])设()fz为一个整函数，若()fz的球面导数()#fz有界，则()fz的级至多为1。3.定理的证明定理1的证明：在条件(2)下，存在非零常数a，b，c，d有ffbbaa=，ffccaa=，ffddaa=相对于f独立。Mobius变换：()ffaLzza=，其逆变换()1ffaLzza−=。接下来证明函数族{}1|fGLffF−=∈在D内正规。不妨设D为单位圆∆，假设G在∆内不正规。由引理1(1α=)，存在子列{}1jjfjgLfG−=⊂，{}jfF⊂，{}jz⊂∆，数列{}jρ满足0+jρ→，使得()()1jjjjjTgzcξρρξ−=+−在上按球距一致收敛于非常数亚纯函数()Tξ，并且T满足()()##01TTdξ≤=+。我们断言：1.1若()0Tξ=，则()Tdξ′=;廖华婷，张莎莎DOI:10.12677/pm.2018.82023186理论