向量方法求线面角

3.2.1利用向量方法求角一、概念名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。LαθoBA平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或Lα，则L与α所成的角是0角。异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,与的关系？CDAB思考：,与的关系？DCAB结论：|cos,|ab||ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb探究1：线线角2nBA，斜线与平面所成角的范围：ABO,设平面的法向量为，则与的关系？nnBA思考：结论：sin|cos,|nABnnBAAB2nBA，探究2：线面角0,2例1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．例1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．例2：正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．2变式：如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦．例3.如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点．（1）求异面直线MN与CD1所成的角（2）MN与平面AMC所成角的大小当堂检测2nBA，斜线与平面所成角的范围：ABO,设平面的法向量为，则与的关系？nnBA思考：结论：sin|cos,|nABnnBAAB2nBA，探究2：线面角0,2例2：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，1(101)(110)ABAC，，，，，1(111)C，，，11(010)BC则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故110103cos313nBC，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz小结：1.异面直线所成角：cos|cos,|ab2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOnaban