三、多维随机变量及其分布(参考答案)

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第三章多维随机变量及其分布（一）一、填空题：1、设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为2,01,01(,)0,Axyxyfxy其他，则常数A6。2、设二维随机变量(,)XY的联合分布函数为arctanarctan,0,0(,)0,AxyxyFxy其他，则常数A24。二、计算题：1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：01X若第一次出的是正品若第一次出的是次品，01Y若第二次出的是正品若第二次出的是次品试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样（2）不放回抽样2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求（1）13{,04}22PXY，（2）{12,34}PXY123411/4001/1621/161/401/4301/161/160YXY01X025/365/3615/361/36Y01X015/225/3315/331/66解：（1）13{,04}22PXY111213(,)(,)(,)PXYPXYPXY14（2）{12,34}PXY13142324(,)(,)(,)(,)PXYPXYPXYPXY115164163．设随机变量(,)XY的联合分布律如表：求：（1）a值；（2）(,)XY的联合分布函数(,)Fxy（3）(,)XY关于X，Y的边缘分布函数()XFx和()YFy解：（1）由归一性1111446ijijpa解得13a（2）(,)XY的联合分布函数为00111210452101211202120,(,),,,xyxyFxyxyxyxy或Y10X11/41/421/6a（3）(,)XY关于X，Y的边缘分布函数为：01112212()XxFxxx015101210()yyFyyy4．设随机变量(,)XY的概率密度为(6)0x2,2y4(,)0kxyfxy其他，求：（1）常数k；（2）求{1,3}PXY；（3）{1.5}PX；（4）{4}PXY解：（1）由归一性24202066281(,)()()Fdxkxydykxdxk所以1k（2）{1,3}PXY131020117368828()()dxxydyxdx（3）{1.5}PX1541502011276628832..()()dxxydyxdx（4）{4}PXY4168()xyxydxdy2402168()xdxxydy220112816()xxdx23概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第三章多维随机变量及其分布（二）一、选择题：1、设随机变量X与Y独立，且221122(,),(,)XNYN，则ZXY仍服从正态分布，且有[D]（A）221212(,)ZN(B)221212(,)ZN(C)221212(,)ZN(D)221212(,)ZN2、若(,)XY服从二维均匀分布，则[B]（A）随机变量,XY都服从均匀分布（B）随机变量,XY不一定服从均匀分布（C）随机变量,XY一定不服从均匀分布（D）随机变量XY服从均匀分布二、填空题：1、设二维随机变量(,)XY的密度函数为2,01,02(,)30,.xyxxyfxy其他，则(1)PXY3136。2211123000125311111363636()()()xxyxxPXYdxxdyxdx2、设随机变量,XY同分布，X的密度函数为23,02()80,xxfx其他，设{}AXa与{}BYa相互独立，且3()4PAB，则a34。230311188()()()axaPAPXaPXadx2()()()()()2()[()]PABPAPBPAPBPAPA33623211188644()()aaa三、计算题：1．已知2{},{},(1,2,3)abPXkPYkkkk，X与Y独立，确定a，b的值，求出(,)XY的联合概率分布以及XY的概率分布。解：由归一性111236()kaaaPXka所以611a由归一性4914936()kbbbPYkb所以3649b(,)XY的联合概率分布由于24(2)539PXY666(1)53949PXY251(0)539PXY126(1)539PXY72(2)539PXYXY的概率分布为：21012246625112672539539539539539XYP2．随机变量X与Y的联合密度函数为3412,0,0(,)0,xyexyfxy其他，分别求下列概率密度函数：（1）ZXY；（2）max{,}MXY；（3）min{,}NXY。解：（1）()()()ZFzPZzPXYz(,)xyzfxydxdy340012zzxxydxedyY321X124/53954/539216/539212/53927/539108/53938/53918/53972/53934()03(1)zxzxeedx340(3)|xxzzee34143zzee即3400()1430ZzzzFzeez所以Z的概率密度函数为3400()12120Zzzzfzeez或当0z时，()0Zfz当0z时，()(,)Zfzfxzxdx34()012zxzxedx4012|zxzee412(1)zzee所以Z的概率密度函数为3400()12120Zzzzfzeez（2）由于3430()(,)123xyxXfxfxydyedye3440()(,)124xyyYfyfxydyedxe则X与Y相互独立。当0z时，()0MFz当0z时，()()(,)()()MFzPMzPXzYzPXzPYz34()()(1)(1)zzXYFzFzee所以344300()3(1)4(13)0Mzzzzzfzeeez347003470zzzzeeez（3）当0z时，()0NFz当0z时，()()1()1(,)1()()NFzPNzPNzPXzYzPXzPYz3471[1()][1()]11zzzXYFzFzeee所以700()70Nzzfzez3．设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布(0,1)U。试求（1）ZXY的分布函数与概率密度函数；（2）2UXY的概率密度函数。解：（1）()()()ZXYfzfxfzxdx(01,01)xzx当0z或2z时，()0Zfz当01z时，0()zZfzdxz当12z时，11()2Zzfzdxz所以，01()2120Zzzfzzz其他（2）当1u时，()0UFu；当2u时，()1UFu当10u时，112201()(12)24yuUuuyuFudydxdyuu；当01u时，1200()yuUFudydx1(12)4u；当12u时，1202()1xuuUFudxdy24uu即2UXY的分布函数为：22011(12)1041(12)01()412412UuuuuuuFuuuuu所以2UXY的概率密度函数为：11022101()()211220UUuuufuFuuu其它4．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为101()0Xxfx其它，0()00yYAeyfyy，求：（1）常数A，（2）随机变量ZXY的概率密度函数。解：（1）由于001()|yyYFAedyAeA，所以A=1（2）随机变量ZXY的概率密度函数ZXYfzfxfzxdx（01,0xzx）当0Z时，0Zfz当01z时，()01zzxZfzedx0zzxeedx1ze当1z时，1()0zxZfzedx10zxeedx1zzee