2016届高考数学文科一轮复习课件3-3两角和与差及二倍角三角函数公式

高考总复习数学（文科）第三章三角函数与解三角形第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．考纲要求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式课前自修sin(α±β)＝_______________________(简记为Sα±β)；cos(α±β)＝_____________________________(简记为Cα±β)；tan(α±β)＝___________________(简记为Tα±β)．基础回顾sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβsinαsinβtanα±tanβ1tanαtanβ考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接二、二倍角的正弦、余弦和正切公式课前自修sin2α＝______________(简记为S2α)；cos2α＝____________________________________(简记为C2α)；tan2α＝____________(简记为T2α)．2sinαcosαcos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanα1－tan2α考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接三、二倍角余弦公式的变式课前自修1．降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接四、辅助角公式课前自修asinx＋bcosx＝a2＋b2sin()x＋φ(其中φ角所在的象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝ba确定)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修基础自测考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接1．给出下列命题：①两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的；②存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立；③在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定；④公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立；⑤存在实数α，使tan2α＝2tanα.其中正确的是()A．①③④B．①②⑤C．②③④D．②③⑤B课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：①正确.对于任意的实数α，β，两角和与差的正弦、余弦公式都成立.②正确.如取β＝0，因为sin0＝0，所以sin（α＋0）＝sinα＝sinα＋sin0.③错误.因为f(π,2)＜A＋B＜π，所以cos（A＋B）＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0.所以sinAsinB＞cosAcosB.④错误.变形可以，但不是对任意角α，β都成立.α，β，α＋β≠kπ＋f(π,2)，k∈Z.⑤正确.当α＝kπ（k∈Z）时，tan2α＝2tanα.课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接2.1－tan15°1＋tan15°＝()A．1B.33C.22D.3B解析：f(1－tan15°,1＋tan15°)＝f(tan45°－tan15°,1＋tan15°tan45°)＝tan（45°－15°）＝tan30°＝f(r(3),3).故选B.课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接3．计算sin68°sin67°－sin23°cos68°的结果等于()A.12B.22C.32D.33B解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin（68°－23°）＝sin45°＝f(r(2),2).课前自修栏目链接4．下列各式中，值为12的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°A解析：2sin15°cos15°＝sin30°＝f(1,2)；cos215°－sin215°＝cos30°＝f(r(3),2)；2sin215°－1＝－cos30°＝－f(r(3),2)；sin215°＋cos215°＝1.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点1三角公式的正用、逆用与变形运用考点探究【例1】(1)若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，且α是第二象限角，则tanπ4＋α等于()A．7B．－7C.17D．－17(2)已知cosα－π6＋sinα＝453，则sinα＋76π的值是()A．－235B.235C．－45D.45考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接思路点拨：由题设，需先求出cosα的值，再运用和、差、二倍角公式．点评：(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变形用”；(2)常与同角三角函数的基本关系式、诱导公式综合考查三角函数求值问题．(3)三种常见公式变形：①正切和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)．②倍角公式变形：降幂公式．考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.③升幂变形：1±sinα＝sinα2±cosα22，1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：（1）∵sin（α－β）sinβ－cos（α－β）cosβ＝f(4,5)，∴cosα＝－f(4,5).又α是第二象限角，∴sinα＝f(3,5)，则tanα＝－f(3,4).∴tan(f(π,4)＋α))＝f(tanf(π,4)＋tanα,1－tanf(π,4)tanα)＝f(1－f(3,4),1＋f(3,4)＝f(1,7).故选C.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接（2）∵cos(α－f(π,6)＋sinα＝f(4,5)r(3)，∴f(r(3),2)cosα＋f(1,2)sinα＋sinα＝f(4,5)r(3)，∴r(3)(f(1,2)cosα＋f(r(3),2)sinα))＝f(4,5)r(3)，∴sin(α＋f(π,6)＝f(4,5)，因此sin(α＋f(7,6)π)＝－sin(α＋f(π,6)＝－f(4,5).故选C.答案：（1）C（2）C考点探究变式探究1．(1)计算：log12sin15°＋log12cos15°＝________．(2)若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于________．23考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)原式＝log12(sin15°cos15°)＝log1212sin30°＝log12122＝2.(2)由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝14，即sin2α＝34，又因为α∈0，π2，所以sinα＝32，即α＝π3，所以tanα＝tanπ3＝3.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点2配角法(角的变换)的运用考点探究【例2】已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈0，π2，则β＝________．点评：在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是配角与拆角，如2α＝()α＋β＋()α－β，2β＝()α＋β－()α－β，2α＋β＝2()α＋β－β，2α－β＝2()α－β＋β，α＝()α＋β－β，α＝()α－β＋β，β＝()α＋β－α，β＝－()α－β＋α等．变角主要是将所求角转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等．注意角的范围对函数值的影响．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：∵α、β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12，∵0βπ2，∴β＝π3.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究2.(1)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()A.33B．－33C.539D．－69(2)已知α为第二象限角，sinα＝35，β为第一象限角，cosβ＝513，则tan(2α－β)的值为________．C考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)∵0απ2，－π2β0，∴π4π4＋α3π4，π4π4－β2π2.于是由cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33可得sinπ4＋α＝223，sinπ4－β2＝63.∵α＋β2＝π4＋α－π4－β2，∴cosα＋β2＝cos[π4＋α－(π4－β2)]＝cosπ4＋αcos(π4－β2)＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)α为第二象限角，β为第一象限角，cosα＝－45，sinβ＝1213tanα＝－34，tanβ＝125tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247tan()2α－β＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝204253.答案：(2)204253(也可先求2α－β的正弦、余弦值，再求2α－β的正切值)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点3三角函数的给值求角考点探究【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：由已知条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)∵tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×121－122＝43，∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：三角函数的“给值求角”问题，一般是根据题设条件先求这个角所对应的三角函数值，再根据所求角的所在范围确定这个角的大小．解决这类问题，重点是三角函数值的求解，难点是角的范围的确定．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究3．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，则β＝________．π3解析：∵0βαπ2，∴0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，cosα＝17，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314，sinα＝437.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0βπ2.∴β＝π3.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点4同角公式、和差倍角公式的综合运用考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接【例4】(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asinx＋π3，x∈R，且f