2016届高考数学文科一轮复习课件3-5三角函数的图像与性质

高考总复习数学（文科）第三章三角函数与解三角形第五节三角函数的图像与性质考纲要求1.能画出y＝sinx，y=cosx,y=tanx的图像。2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如值域、单调性、奇偶性、最大值和最小值以及与x轴交点等，）理解正切函数在区间(－π2,π2)上的性质，了解三角函数的周期性。一、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质（表格中各式的k∈Z）课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接二、研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的方法课前自修类比于研究y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sinx中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接三、求三角函数的周期的常用方法课前自修经过恒等变形化成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式．如：函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期都是；函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是.另外还有图象法和定义法．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修基础自测考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接1.（2014·上海卷）函数y＝1－2cos2（2x）的最小正周期是.f(π,2)解析：因为y＝1－2cos2（2x）＝－cos4x，故其最小正周期T＝f(2π,4)＝f(π,2).课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接2.（2013·天津卷）函数f（x）＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为（）A.－1B.－22C.22D.0解析：因为x∈(0，f(π,2），所以－f(π,4)≤2x－f(π,4)≤f(3π,4)，令n＝2x－f(π,4)，则sin(2x－f(π,4）＝sinn在n∈(－f(π,4)，f(3π,4）上的最小值为sin(－f(π,4）＝－f(r(2),2).故选B.B课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接3.（2014·大纲全国卷）函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为.f(3,2)解析：函数y＝－2sin2x＋2sinx＋1，令sinx＝t∈[－1，1]，所以y＝－2t2＋2t＋1，当t＝f(1,2)时，y取得最大值f(3,2).课前自修4．已知函数f(x)＝sinωx－π6(ω0)在0，4π3上单调递增，在4π3，2π上单调递减，则ω＝________．12解析：由题意f4π3＝sin4πω3－π6＝14πω3－π6＝2kπ＋π2ω＝32k＋12，k∈Z.又ω0，令k＝0，得ω＝12(如k0，则ω≥2，T≤π与已知矛盾)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点1求与三角函数有关的函数的定义域考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接【例1】（1）求下列函数的定义域：①y＝2＋log12x＋tanx；②y＝sin（cosx）；③y＝lgsin（cosx）.（2）已知f（x）的定义域为[0，1），求f（cosx）的定义域.思路点拨：对于（1），转化为解不等式（组）问题来解决；对于（2），要使0≤cosx1.自主解答：考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接点评：函数的定义域就是使函数解析式各部分有意义的自变量的取值范围，因此转化为求不等式（组）的解集问题来解决.要解三角不等式，常用的方法有：（1）利用图象；（2）利用三角函数线.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：（1）①(f(1,2）x≥0，tanx≥0，x0）⇒(0x≤4，kπ≤xkπ＋f(π,2)，k∈Z）⇒0xf(π,2)或π≤x)≤4，所以函数的定义域是0，π2∪[π，4]．②sin(cosx)≥0⇒0≤cosx≤1⇒2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z，所以函数的定义域是x2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z.③由sin(cosx)＞0⇒2kπ＜cosx＜2kπ＋π(k∈Z)．又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接∴所求定义域为2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z.(2)0≤cosx＜1⇒2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，且x≠2kπ(k∈Z)，∴所求函数的定义域为2kπ－π2，2kπ∪2kπ，2kπ＋π2，k∈Z.考点探究变式探究1．(1)(2013·江苏泰州调研)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．(2)函数y＝tanx(－1＜y＜1)的定义域是________．2kπ，π3＋2kπ(k∈Z)－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.(2)当x∈－π2，π2时，y＝tanx(－1＜y＜1)的解是－π4，π4，利用正切函数的周期性得函数的定义域为(－π4＋kπ，π4＋kπ)(k∈Z)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点2求三角函数的单调区间考点探究【例2】求下列函数的单调区间：(1)y＝12sinπ4－2x3；(2)y＝－sinx＋π4.思路点拨：对于(1)，要将原函数化为y＝－12sin(23x－π4)，再求之；对于(2)，可画出y＝－sinx＋π4的图象，进而求之．自主解答：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：(1)熟练掌握正、余弦函数y＝sinx，y＝cosx的单调区间是迅速正确求解正、余弦型函数单调区间的关键．特别提醒，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.(2)在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω0，则通过诱导公式先将ω化为正数再求．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)∵y＝12sinπ4－2x3＝－12sin2x3－π4，且函数y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴由2kπ－π2≤2x3－π4≤2kπ＋π23kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8(k∈Z)，由2kπ＋π2≤2x3－π4≤2kπ＋3π23kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8(k∈Z)，即函数的单调递减区间为[3kπ－3π8，3kπ＋9π8](k∈Z)，单调递增区间为[3kπ＋9π8，3kπ＋21π8]（k∈Z）.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)作出函数y＝－sinx＋π4的简图(如图所示)，由图象得函数的单调递增区间为kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z)，单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接2.（2014·四川卷）已知函数f（x）＝sin3x＋π4.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos2α，求cosα－sinα的值.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos2α－sin2α)，所以，sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45(cosαcosπ4－sinαsinπ4)(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)，当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－2.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.考点3求三角函数的最小正周期、最值(值域)考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接【例3】（2014·北京卷）函数f（x）＝3sin2x＋π6的部分图象如图所示.（1）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（2）求f（x）在区间－π2，－π12上的最大值和最小值.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：（1）f（x）的最小正周期为π.所以x0＝7π6，y0＝3.（2）因为x∈－π2，－π12，所以2x＋π6∈－5π6，0.于是，当2x＋π6＝0，即x＝－π12时，f（x）取得最大值0；当2x＋π6＝－π2，即x＝－π3，f（x）取得最小值－3.点评：对于函数y＝Asin（ωx＋φ）的最小正周期和最值的求解，注意最小正周期公式T＝2π|ω|的使用，容易忽略分母的绝对值；求最值时，要结合角的范围，利用三角函数的单调性求解.考点探究变式探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接3.（1）（2014·新课标全国卷Ⅰ）在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为（）A.①②③B.①③④C.②④D.①③（2）（2014·新课标全国卷Ⅱ）函数f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx的最大值为.A1考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：(1)由诱导公式可知，函数y＝cos|2x|的图象与y＝cos2x图象相同，所以函数y＝cos|2x|的最小正周期为2π2＝π，排除C；画出函数y＝|cosx|的图象，可知其最小正周期为π，故排除B，D；易知函数y＝cos2x＋π6的最小正周期为2π2＝π，函数y＝tan2x－π4最小正周期为π2，故选A.(2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)≤1.考点4三角函数的零点、奇偶性、对称性的应用考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接【例4】（1）设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）ω0，||φπ2的最小正周期为π，且f（－x）＝f（x），则（）A.f（x）在0，π2上单调递减B.f（x）在π4，3π4上单调递减C.f（x）在0，π2上单调递增D.f（x）在π4，3π4上单调递增考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接（2）已知函数f()x＝sinωx＋π6（ω0），若函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，则ω的值为.解析：（1