2012年高考理科数学(全国二卷)真题

第1页共16页2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）6月7日15：00-17：00注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。第Ⅰ卷一、选择题（1）复数131ii()（A）2i（B）2i（C）12i（D）12i（2）已知集合{1,3,}Am，{1,}Bm，ABA，则m()（A）0或3（B）0或3（C）1或3（D）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x，则该椭圆的方程为()（A）2211612xy（B）221128xy（C）22184xy（D）221124xy（4）已知正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，122CC，E为1CC的中点，则直线1AC与平面BED的距离为()（A）2（B）3（C）2（D）1（5）已知等差数列{}na的前n项和为nS，55a，515S，则数列11{}nnaa的前100项和为()第2页共16页（A）100101（B）99101（C）99100（D）101100（6）ABC中，AB边的高为CD，若CBa，CAb，0ab，||1a，||2b，则AD()（A）1133ab（B）2233ab（C）3355ab（D）4455ab（7）已知为第二象限角，3sincos3，则cos2()（A）53（B）59（C）59（D）53（8）已知1F、2F为双曲线22:2Cxy的左、右焦点，点P在C上，12||2||PFPF，则12cosFPF()（A）14（B）35（C）34（D）45（9）已知lnx，5log2y，12ze，则()（A）xyz（B）zxy（C）zyx（D）yzx（10）已知函数33yxxc的图像与x恰有两个公共点，则c()（A）2或2（B）9或3（C）1或1（D）3或1（11）将字母,,,,,aabbcc排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，37AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()（A）16（B）14（C）12（D）10Ⅱ卷第Ⅱ卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。第3页共16页（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）若,xy满足约束条件1030330xyxyxy，则3zxy的最小值为__________。（14）当函数sin3cos(02)yxxx取得最大值时，x___________。（15）若1()nxx的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为_________。（16）三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAACAA，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为____________。三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos()cos1ACB，2ac，求C。第4页共16页（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，22AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC。（Ⅰ）证明：PC平面BED；（Ⅱ）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。ECBDAP第5页共16页（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()cosfxaxx，[0,]x。（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设()1sinfxx，求a的取值范围。（21）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线2:(1)Cyx与圆2221:(1)()(0)2Mxyrr有一个公共点A，且在点A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。第6页共16页（22）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数2()23fxxx，定义数列{}nx如下：12x，1nx是过两点(4,5)P、(,())nnnQxfx的直线nPQ与x轴交点的横坐标。（Ⅰ）证明：123nnxx；（Ⅱ）求数列{}nx的通项公式。第7页共16页2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）理科数学参考答案6月7日15：00-17：00第Ⅰ卷一．选择题：1.解:iiiiiiii21242)1)(1()1)(31(131，选C.2.解:因为ABA,所以AB,所以3m或mm.若3m，则}3,1{},3,3,1{BA,满足ABA.若mm，解得0m或1m.若0m，则}0,3,1{},0,3,1{BA，满足ABA.若1m，}1,1{},1,3,1{BA显然不成立，综上0m或3m，选B.3.解:椭圆的焦距为4，所以2,42cc因为准线为4x，所以椭圆的焦点在x轴上，且42ca，所以842ca，448222cab，所以椭圆的方程为14822yx，选C.4.解:连结BDAC,交于点O，连结OE，因为EO,是中点，所以1//ACOE,且121ACOE，所以BDEAC//1，即直线1AC与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做OECF于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22AC,2,2CEOC,2OE,所以利用等积法得1CF，选D.第8页共16页（5）解:由15,555Sa,得1,11da，所以nnan)1(1，所以111)1(111nnnnaann，又1011001011110111001312121111110110021aaaa，选A.（6）解:在直角三角形中，521ABCACB，，,则52CD,所以5454422CDCAAD,所以54ABAD,即babaABAD5454)(5454，选D.（7）解:因为33cossin所以两边平方得31cossin21，所以032cossin2，因为已知α为第二象限角，所以0cos,0sin，31535321cossin21cossin，所以)sin)(cossin(cossincos2cos22=3533315，选A.（8）解:双曲线的方程为12222yx，所以2,2cba，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以解得|PF2|=22，|PF1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos2221PFF,选C.（9）解:1lnx，215log12log25y，eez121，1121e，所以xzy，选D.(10)解:若函数cxxy33的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2xy，令033'2xy，解得1x，可知当极大值为cf2)1(，极小值为2)1(cf.由02)1(cf，解得2c，由02)1(cf，解得2c，所以2c或2c，选A.第9页共16页（11）解:第一步先排第一列有633A，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226种，选A.（12）解:结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.【答案】B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）解:做出做出不等式所表示的区域如图，由yxz3得zxy3，平移直线xy3，由图象可知当直线经过点)1,0(C时，直线zxy3的截距最大，此时z最小,最小值为1-3yxz.【答案】1（14）解:函数为)3sin(2cos3sinxxxy，当20x时，3533x，由三角函数图象可知，当23x，即65x时取得最大值，所以65x.【答案】65x（15）解:因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62nnCC，所以8n，所以展开式的通项为kkkkkkxCxxCT288881)1(，令228k，解得5k，所以2586)1(xCT，所以21x的系数为5658C.【答案】56第10页共16页（16）解:如图设,,,1cACbABaAA设棱长为1，则,1baABbcaBCaBC-1，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160CAABAA所以21cbcaba，所以3)(21baAB，2)-(21bcaBC，2)-()(11bcabaBCAB，设异面直线的夹角为，所以36322cos1111BCABBCAB.【答案】36三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第11页共16页第12页共16页第13页共16页第14页共16页第15页共16页第16页共16页