2016届高考数学文科一轮复习课件3-6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用

高考总复习数学（文科）第三章三角函数与解三角形第六节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象,及三角函数模型的应用1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．2．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．考纲要求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接一、三角函数图象的作法课前自修基础回顾1．几何法(利用三角函数线)．2．描点法：五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正切曲线)．(1)正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移2kπ(k∈N*)个单位长度，即得函数的整个图象．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修图象与x轴的交点：正弦函数为________，k∈Z，余弦函数为________，k∈Z，正切函数为________，k∈Z.(kπ，0)kπ＋π2，0(kπ，0)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接二、三角函数图象的对称轴与对称中心课前自修正弦曲线y＝sinx的对称轴为x＝________(k∈Z)，对称中心为________(k∈Z)；余弦曲线y＝cosx的对称轴为x＝________(k∈Z)；对称中心为______________，(k∈Z)；正切曲线y＝tanx的对称中心为________(k∈Z)．其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处有最大(小)值．kπ＋π2(kπ，0)kπkπ＋π2，0kπ2，0考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接三、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的画法课前自修1．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的简图．设X＝ωx＋φ，由X取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图．2．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A0，ω0)的一些结论：最大值是A＋B，最小值是B－A，周期是T＝2πω，频率是f＝ω2π，相位是ωx＋φ，初相是φ(即当x＝0时的相位)；其图象的对称轴是直线ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，凡是该图象与直线y＝B的交点都是该图象的对称中心．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修对于y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．3．利用图象变换作三角函数的图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的作法．(1)__________或叫做沿y轴的伸缩变换：由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A|＞1)或缩短(当0＜|A|＜1)到原来的________倍，得到y＝Asinx的图象．振幅变换|A|考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修(2)________或叫做沿x轴的伸缩变换：由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0＜|ω|＜1)或缩短(|ω|＞1)到原来的________倍，得到y＝sinωx的图象．(3)________或叫做左右平移：由y＝sinx的图象上所有的点向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平行移动________个单位长度，得到y＝sin(x＋φ)的图象．(4)上下平移：由y＝sinx的图象上所有的点向上(当B＞0)或向下(当B＜0)平行移动______个单位长度，得到y＝sinx＋B的图象．周期变换1ω相位变换|φ||B|考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修4．由y＝Asin(ωx＋φ)的图象求其解析式．给出图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的题型，一般从寻找“五点”中的第一零点－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修基础自测考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接1.（2014·浙江卷）为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝2cos3x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π4个单位易错点拨：本题若考生把y＝sin3x＋cos3x恒等变换成y＝sin3x＋cos3x＝2sin3x＋π4，再考虑平移难度就很大；若记错公式把y＝sin3x＋cos3x化成y＝2cos3x＋π4，容易错选C.题目的“倒装语句”叙述，也容易发生错误判断．A课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：本题考查三角函数的图象变换及三角恒等变换，难度中等．∵y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x－π4，∴y＝2cos3x的图象向右平移π12个单位长度后得到y＝2cos3x－π12＝2·cos3x－π4的图象，故选A.课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接2.（2013·新课标全国卷Ⅰ）函数f（x）＝（1－cosx）sinx在[－π，π]的图象大致为（）C课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]上为奇函数，x在原点右侧附近f(x)0.可排除A、B.f(x)在0，π2上是增函数，且当x＝π2时，f(x)＝1.排除D.故选C.课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接3.如果函数y＝3cos（2x＋θ）的图象关于点4π3，0成中心对称，那么|θ|的最小值是.解析：对称中心的横坐标满足2x＋θ＝kπ＋π2(k∈Z)，当x＝4π3时，解得θ＝kπ－13π6，当k＝2时，|θ|最小，最小值为π6.π6课前自修4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(0)＝______．62考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修解析：由图可知A＝2，T4＝712π－π3＝π4，ω＝2，2×7π12＋φ＝2kπ＋3π2，φ＝2kπ＋π3(k∈Z)，∴f(x)＝2sin2x＋2kπ＋π3(k∈Z)，∴f(0)＝2sin2kπ＋π3＝62.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点1五点法作图及图象变换考点探究【例1】已知函数y＝3sin12x－π4.(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y＝sinx的图象经过怎么样的变化得到的；(3)求此函数的振幅、周期和初相；(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．自主解答：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：五点作图法是正弦型函数和余弦型函数作图的基本方法，在高考中虽不会要求直接作出图象，但掌握这种作图方法，在解决与图有关的其他问题时会带来很大方便．五点作图法的关键是寻找五点，其方法是[以y＝Asin(ωx＋φ)为例]分别令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，解得对应的五个x值，这五个x值即为函数图象上五个点的横坐标，再解出相应的纵坐标，就得到五个关键点．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)列表：xπ232π52π72π92π12x－π40π2π32π2π3sin12x－π4030－30描点、连线，如图所示：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)“先平移，后伸缩”．先把y＝sinx的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y＝sinx－π4的图象；再把y＝sinx－π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x－π4的图象，最后将y＝sin12x－π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图象．(3)周期T＝2πω＝2π12＝4π，振幅A＝3，初相是－π4.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(4)令12x－π4＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋32π(k∈Z)，此为对称轴方程．令12x－π4＝kπ(k∈Z)，得x＝π2＋2kπ(k∈Z)．对称中心为2kπ＋π2，0(k∈Z)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接1.（1）函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是（）A考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接（2）已知函数y＝Asin12x－π5，给出下面4个命题，其中正确命题的个数是.①函数的最大值为A；②函数的初相位是π5；③将函数图象向左平移π5个单位长度，得到函数y＝Asin12x的图象；④将函数图象上的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，所得函数的周期为2π.1考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：(1)因为fπ6＝0，故排除C，D；因为f(0)＝－32＜0，故排除B，故选A.(2)函数的最大值为|A|，函数的初相位是－π5，∴①②错误．对于③，平移后得到的函数是y＝Asin12x＋π5－π5＝Asin12x－π10，∴③错误．对于④，所得函数是y＝Asinx－π5，其周期为2π，∴④正确．考点2根据部分图象求三角函数的解析式考点探究【例2】如图为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω0，|φ|π2)的图象的一段，求其解析式．自主解答：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)表达式的确定：A由最值确定，ω由周期确定，φ由图象上的特殊点确定．(2)给出图象(或部分图象)确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的题型，常常从寻找“五点”中的第一零点－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：由图象易得A＝3，T2＝5π6－π3＝π2，∴2πω＝π.∴ω＝2.又∵2×π3＋φ＝kπ，k∈Z，||φπ2，∴φ＝π3.∴函数的解析式是y＝3sin2x＋π3.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接2.（2013·四川卷）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω0，－π2φπ2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A.2，－π3B.2，－π6C.4，－π6D.4，π3考点探究变式探究A考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：由图可知A＝1，且34T＝11π12－π6＝3π4，所以T＝π，ω＝2πT＝2.将点(π6，1)代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6，所以y＝sin(2x＋π6)，故选A.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点3三角函数图象的变换考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接【例3】设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A0，ω0，－πφ≤π）在x＝π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2.（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）＝6cos4x－sin2x－1fx＋π6的值域.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：（1）由题设条件知f（x）的周期T＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f（x）在x＝π6处取得最大值2，所以A＝2.从而sin2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k