2013届高考数学一轮复习课件(文科)6.4《函数y=asin(ωx+φ)的图象》新人教版必修4

第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象考纲要求考纲研读1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.理解A，ω，φ的意义，能根据所给三角函数的图象和性质确定其中的参数，并能由一个三角函数的图象通过平移变换、周期变换、振幅变换和对称变换得到另一个三角函数的图象．利用三角函数的解析式可研究三角函数的性质和图象变换.短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的—倍(纵坐标不变)，再把所得各点1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)，x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的：先把y＝sinx的图象上所有的点向左(φ0)或向右(φ0)平行移动|φ|个单位，再把所得各点的横坐标缩1ω的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变)．2．振幅、周期频率、相位(1)当函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅．(2)往复振动一次所需要的时间T＝2πω叫做振动的周期．(3)单位时间内往复振动的次数f＝1T＝ω2π，叫做振动的频率．(4)ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相(即当x＝0时的相位)．1．把函数y＝sin2x＋π6的图象向左平移π6，所得图象的函数解析式为()A．y＝sin2x＋π3B．y＝－cos2xC．y＝sin2xD．y＝cos2xD2．函数y＝3sin2x＋π3的图象可以由函数y＝3sin2x的图象经过下列哪种变换得到()A．向右平移π3个单位B．向右平移π6个单位C．向左平移π3个单位D．向左平移π6个单位3．函数y＝sin2x＋52π的图象的一条对称轴为()A．x＝－π2B．x＝－π4C．x＝π8D．x＝54πDA4．函数y＝sin3x－π4的图象的一个对称中心是()A.－π12，0B.－7π12，0C.7π12，0D.11π12，05．函数y＝12sin2x＋π4的振幅是___，周期是___，频率是____，B初相是___.π121ππ4A．向左平移—个单位长度B．向右平移—个单位长度C．向左平移—个单位长度D．向右平移—个单位长度考点1三角函数的图象及变换为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()π8π4π8π4例1：①已知函数f(x)＝sinωx＋π4(x∈R，ω0)的最小正周期解析：由题知ω＝2，所以f(x)＝sin2x＋π4＝cosπ2－2x＋π4＝cos2x－π4＝cos2x－π8.答案：A②要得到y＝sin－2x＋π4的图象，只需将y＝sin(－2x)的图象()A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π8个单位D．向右平移π8个单位答案：D解析：y＝sin－2x＋π4＝sin－2x－π8，只需将y＝sin(－2x)的图象向右平移π8个单位，即可得到y＝sin－2x＋π4的图象．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的，要特别注意相位变换，周期变换的顺序，顺序不同，其结果也不同．【互动探究】1．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cosx－π3的图象()A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π3个单位D．向左平移π6个单位A考点2根据三角函数图象求解析式图6－4－1答案：0例2：①已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图6－4－1，则f7π12＝________.解：由图象知最小正周期T＝235π4－π4＝2π3＝2πω，故ω＝3.又x＝π4时，f(x)＝0，即2sin(3×π4＋φ)＝0.可得φ＝π4.所以，f7π12＝2sin3×7π12＋π4＝0.②已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是()ACBD解析：当振幅大于1时，三角函数的周期为T＝2π|a|，∵|a|1，∴T2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于2π.答案：D根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ.最高(低)点决定着A的值，周期决定着ω的值，求φ必须将点代入计算．【互动探究】2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)的图象如图6－4－2，则ω＝____.32图6－4－2解析：由图象可得最小正周期为4π3，∴T＝2πω＝4π3⇒ω＝32.考点3函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用例3：(2010年广东)设函数f(x)＝3sinωx＋π6，ω0，x∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．(1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式；(3)已知fα4＋π12＝95，求sinα的值．解析：(1)f(0)＝3sin0＋π6＝32.(2)∵T＝2πω＝π2，∴ω＝4.∴f(x)＝3sin4x＋π6.(3)fα4＋π12＝3sin4α4＋π12＋π6＝3sinα＋π2＝95⇒cosα＝35，∴sinα＝±1－cos2α＝±1－925＝±45.【互动探究】3．(2011届甘肃武威联考)已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋3.(1)当x∈(0，π2)时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)＝285，且x∈(π6，5π12)，求cos(2x－π12)的值．解：(1)由已知f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋3＝3sin2x＋cos2x＋4＝2sin2x＋π6＋4.当x∈0，π2时，2x＋π6∈π6，7π6，则sin2x＋π6∈－12，1，故函数f(x)的值域是(3,6]．(2)由f(x)＝285，得2sin(2x＋π6)＋4＝285，即sin2x＋π6＝45，因为x∈π6，5π12，所以cos2x＋π6＝－35.故cos2x－π12＝cos2x＋π6－π4＝cos2x＋π6·22＋sin2x＋π6·22＝210.考点4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的应用图6－4－3象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，例4：(2011年浙江)已知函数f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A0,0φπ2.y＝f(x)的部分图象，如图6－4－3，P，Q分别为该图∠PRQ＝2π3，求A的值．解析：(1)由题意得，T＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的图象上，所以sinπ3＋φ＝1.又因为0φπ2，所以φ＝π6.(2)如图6－4－4，设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3.由余弦定理得cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP·RQ＝A2＋9＋A2－＋4A22A·9＋A2＝12，解得A2＝3.又A＞0，所以A＝3.图6－4－4【互动探究】4．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2A解析：∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，∴2·4π3＋φ＝kπ＋π2.∴φ＝kπ－13π6(k∈Z)．由此易得|φ|min＝π6.1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法．2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，应的x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标．3．求一个关于sinx、cosx二次齐次式的周期、值域等问题时，首先要降次化为y＝Asin(ωx＋φ)函数问题．关键是点的选取，通常令ωx＋φ分别等于0，π2，π，3π2，2π，求4．正弦型函数问题往往转化为正弦函数问题，熟练掌握正弦函数的图象和性质是学好本节的关键．1．在进行图象变换时，通常是按先相位变换，再周期变换，振幅变换的顺序可先可后．如果先进行周期变换再进行相位变换，往往容易出错．2．根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，利用“代点法”求φ的值时，应尽量选择图象的最高点或最低点，选择函数值为零的点要分清是第几个零点．