12.建模作业-行星运行

《数学建模》课程作业题-12第四章微分方程模型-行星运行1水星到太阳的最远距离为0.68982×1011m，此时水星绕太阳运行的线速度为3.886×104m/s，试求:(1)水星到太阳的最近的距离；(2)水星绕太阳运行的周期；(3)画出水星绕太阳运行的轨道曲线；(4)求从远日点开始的第50天(地球天)结束时水星的位置.（1）建立的模型及求解：水星运行的数学模型2212321200000tttCdrGMdtrrCddtrrrdrrdt行星运动轨迹方程1cospre其中，2110001,,CpepCrvrMG利用MATLAB进行计算求解（附录一），得到水星到太阳的最近的距离为104.456510rm（2）建立的模型及求解：水星绕太阳运行的周期模型为:2322121pTCe其中，2110001,,CpepCrvrMG。利用MATLAB进行计算求解（附录二），得到水星绕太阳运行的周期为T=1.58×107s，约为183.4天。（3）利用matlab（附录三）画水星绕太阳运行的轨道曲线：（4）建立的模型及求解：水星的位置模型为22011pdtCecoc如果要求出1tT是水星的位置，即求出相应的和r，则意味着先要解方程2112201CTpdpecoc求出后，在求出1cospre，进而得到线速度12Cddtr。最后利用MATLAB计算求解（附录四），解得从远日点开始的第50天(地球天)结束时水星的位置如图所示：2(地中海鲨鱼问题)20世纪20年代中期，意大利生物学家D’Ancona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？请对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型来解释这一现象.年代19141915191619171918百分比（%）11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比（%）27.316.015.914.810.7建立的模型及求解：建立微分方程组如下：])([])[(2211xerydtdyyerxdtdx取初值2)0(,25)0(,02.0,1.0,5.0,1.0212121xxrr。其中：x(t)是食用鱼数量,y(t)是软骨鱼数量,r1是食用鱼的独立生存能力,r2是软骨鱼死亡率,1是软骨鱼捕食食用鱼能力,2食用鱼为软骨鱼的供食能力,e是人捕获食用鱼能力。设战前人的捕获能力e=0.3，战时为0.1，则上述方程为战前模型：2)0(,25)0()02.08.0()1.07.0(yxxydtdyyxdtdx战时模型：2)0(,25)0()02.06.0()1.09.0(yxxydtdyyxdtdx设在t时刻，食用鱼的数量为x(t),软骨鱼的数量为y(t)，根据四级四阶的Runge—Kutta法可以得到如下计算公式：),,()2,2,2()2,2,2(),,(3342231121LyKxtFKLyKxtFKLyKxtFKyxtFKkkkkkkkkkkkk])[(11yerxF),,()2,2,2()2,2,2(),,(3342231121LyKxtGLLyKxtGLLyKxtGLyxtGLkkkkkkkkkkkk])([22xeryG得到最终的迭代格式)22(6)22(64321143211LLLLyyKKKKxxkkkk3(鱼场捕捞问题)渔场中的鱼资源若不进行捕捞则按自限规律增长.若在渔场中由固定船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，比例系数为k，试建立描述该渔场鱼数量的数学模型，并讨论如何控制k使得渔场的鱼资源保持稳定.模型的建立及求解：在无捕捞的情况下，鱼的增长服从Logistic回归模型，即)1()()('Nxrxxftx（1）其中：x(t)是t时刻渔场鱼的数量，r是固有增长率，N是所能容纳最多的鱼数，f(x)是无捕捞情况下单位时间内鱼的增长量。对（1）式两端进行积分可得tNxrxtxdtNxrxdttx)1()()1()('在有捕捞情况下，渔场鱼量满足kxxh)(（2）)()1()()('xhNxrxxFtx（3）其中：F(x)是有捕捞情况下单位时间内鱼的增长量，K是捕捞强度，h(x)是单位时间鱼产量。对（3）式两端进行积分可得txhtNxrxtxdtxhNxrxdttx)()1()()()1()('要控制渔场鱼资源保持稳定，只需要F(x)=0,即0)1()(kxNxrxxF（4）对（4）式求解，得)1(,021rkNxx显然，为了维持渔场的稳定，渔场鱼量为0是不可取的，只有渔场的鱼量满足)1(2rkNx时，渔场比较稳定。4(产品推销问题)经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题.试建立一个数学模型来描述它，并由此分析出一些有用的结果来指导生产.模型的建立及求解：该产品的销售与它在市场上的销售量成正比，还与市场上的剩余需求量成正比，即：)(xMxdtdx，则可建立数学模型如下：)(xMkxdtdx其中：M是市场需求有一个上界，K是比列系数，x(t)是t时刻已售出的新产品数量，x是销售量。此方程为Logstic模型，其解为)(^1)(MktCeMtx（1）对（1）关于t求一阶导数得2))^(^1(2^)('MktCektCMtx（2）对（1）关于t求二阶导数得3))^(^1()1)(^)((^3^2^)(''MktCeMktCeMktetCMktx（3）当)('tx0时，x(t)单调递增的；令：)(''tx=0即：1)(^MktCe=0此时：2)(0Mtx当0tt时，销售速度单调递增；当0tt时，销售速度单调递减。综上，在销售量小于最大需求量M的一半时，销售速度是增大的，当销售量达到最大需求量M的一半时，此时最畅销。在销售量超过最大需求量M的一半时，销售速度是递减的。所以初期小批量生产，经过一段时间的需求增长后大批量生产，达到M/2时，稳定生产。这样可以取得较高的经济效益。5(蛛网模型)自由贸易的集市上存在这样一种现象：一个时期由于猪肉的上市量大于需求、销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产业，过段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨.原来的饲养户看到有利可挣，又重操旧业，这样下一个时期又会重现供大于求、价格下降的局面.在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去，试建立数学模型解释这一现象.模型的建立及求解：在k段时间内，价格ky与猪的数量kx有关，即：)(kkxfy该函数是一个减函数。假设：)0()(0aaaxxf；在k+1段时间内，猪的数量1kx是与第k段时间猪肉的价格ky相关的。即：)(1kkygx该函数是一个增函数。假设：)0()(0bbbxxg；由此我们可以得知：)()(00001xxayyyybxxkkkk由此可知：)(001xxabxxkk这是一个等比数列形式。我们可以得到它的通项：)()^(0101xxkabxxk最终化简得到迭代格式：)()^(0101xxkabxxk附录一：%zs_12_1_1r0=0.68982*10^11;v0=3.886*10^4;theta=pi;M=1.989*10^30;G=6.672*10^-11;C1=r0*v0;p=C1^2/(M*G);e=1-p/r0;r=p/(1-e*cos(theta));disp(r);附录二：%zs_12_1_2r0=0.68982*10^11;v0=3.886*10^4;theta=pi;M=1.989*10^30;G=6.672*10^-11;C1=r0*v0;p=C1^2/(M*G);e=1-p/r0;T=2*pi*p^2/(C1*(1-e^2)^3/2);disp(T);附录三：%zs_12_1_3r0=0.68982*10^11;v0=3.886*10^4;theta=0:0.01:2*pi;M=1.989*10^30;G=6.672*10^-11;C1=r0*v0;p=C1^2/(M*G);e=1-p/r0;r=p./(1-e*cos(theta));x=r.*cos(theta);y=r.*sin(theta);plot(x,y)holdonplot(0,0,'r.','MarkerSize',50);holdonplot(0.6982e11,0,'b.','MarkerSize',20);holdonplot(-4.6078e+010,0,'b.','MarkerSize',20);text(1,0,'太阳');text(0.6982e11,0,'远日点');text(-4.6078e+010,0,'近日点');title('水星绕太阳运行的轨道曲线');附录四：%zs_12_1_4c1=2.7132e15;M=1.989e30;G=6.672e-11;Q=inline('2.7132e15^2/(r^3)-1.989e30*6.672e-11/(r^2)');R=inline('q');S=inline('2.7132e15/(r^2)');q=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;whiletheta=2*piK1=Q(r);L1=R(q);N1=S(r);K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1);K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2);K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3);t=t+h;q=q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);r=r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4);theta=theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4);rr=r;ee=theta;xx(k)=rr*cos(ee);%水星任意位置的横坐标yy(k)=rr*sin(ee);%水星任意位置的纵坐标k=k+1;endplot(xx,yy)%画出水星的轨道曲线holdonplot(0,0,'r.','MarkerSize',50);holdonplot(0.6982e11,0,'b.','MarkerSize',20);holdonplot(-4.6078e+010,0,'b.','MarkerSize',20);text(0,0,'太阳');text(0.6982e11,0,'远日点');text(-4.6078e+010,0,'近日点');title('水星绕太阳运行的轨道曲线');clcxx=0;yy=0;q=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;whilet=50*24*3600%求水星自远日点开始第50天的位置K1=Q(r);L1=R(q);N1=S(r);K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1);K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2);K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3);t=t+h;q=q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);r=r+h/