氢原子的量子理论-作业(含答案)

第26章氢原子的量子理论习题(初稿)一、填空题1.氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)llnlmnllmrRrY，请给出电子出现在~rrdr球壳内的概率为___________，电子出现在,方向立体角d内的概率为_______________。2.泡利不相容原理是指______________，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是__________。3.可以用用4个量子数描述原子中电子的量子态，这4个量子数各称和取值范围怎样分别是：(1)(2)(3)(4)。4.根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n确定后，对应的总量子态数目为__个，当n和l确定后，对应的总量子态数目为____个5.给出以下两种元素的核外电子排布规律：钾（Z=19）:铜（Z=29）:_____6.设有某原子核外的3d态电子，其可能的量子数有个，分别可表示为____________________________。7.电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用。8.类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。9.在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是________。10.1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。二、计算题11.如果用13.0eV的电子轰击处于基态的氢原子，则：（1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？（2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？12.写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。13.已知氢原子处于状态2110211113,,,,22rRrYRrY，试求：氢原子能量、角动量平方，及角动量z分量的可能值？求这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值？14.若氢原子处于基态，求在0ra区域发现电子的概率。试问：若在半径为0r的球内发现电子的概率为0.9，则该半径多大？15.证明：若氢原子处于角动量6L,zL描写的状态，则在该状态下，在45o和135o发现电子的概率最大。16.如果假定电子是直径为15110md的均匀实心球，试利用经典力学估算电子自旋的角动量和电子表面的最大线速度？并根据该结论作出评述。已知电子的质量是319.10910kg。17.试根据钠黄双线的波长求钠原子3P1/2和3P3/2态的能级差？并估算该能级时价电子所感受到的磁场强度？三、问答题（4道）18.给出利用量子力学描述氢原子时所得到的三个量子条件？什么是能级简并？19.电子的自旋有何实验验证？试举例进行说明。20.什么是全同粒子？请说明玻色子和费米子的区别？21.试述基态氢原子中电子的概率分布，何谓电子云？【参考答案】一、填空题1.22d()dnlPrrRrrr，2d(,)lmPYd2.不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态，能量取最小值原理3.(1)主量子数n，可取1,2,3,4…(2)角量子数l，取值范围0~(n-1)(3)磁量子数m，取值范围-l~+l(4)自旋量子数s，取值范围+1/2和-1/24.n2，2l+15.2262611,2,2,3,3,4sspsps226216101,2,2,3,3,,34spsspsd6.10个，(3,2,0,±1/2),(3,2,±1,±1/2),(3,2,±2,±1/2)7.电磁相互作用8.原子核外只有一个核外电子的离子，但其核电荷数Z1原子中有一个电子被激发到主量子数很高的定态能级9.n2=410.电子自旋的角动量空间取向量子化二、计算题11.解：（1）假设轰击电子的能量全部被氢原子吸收，则氢原子激发态的能量为113.0eV13.613.0eV0.6eVEE。根据氢原子能级公式21220014nEeEsann将1E代入可得，113.64.80.6EnE所以轰击电子的能量最多将氢原子激发到n=4的激发态。（2）氢原子从n=4的激发态向低能级跃迁，可以发出如下六种波长的光子：对于41的跃迁，348719416.626103100.975101/16113.61.60210hcmEE对于42的跃迁，348719426.626103104.86101/161/413.61.60210hcmEE对于43的跃迁，348719436.6261031018.8101/161/913.61.60210hcmEE对于31的跃迁，348719316.626103101.03101/9113.61.60210hcmEE对于32的跃迁，348719326.626103106.56101/91/413.61.60210hcmEE对于21的跃迁，348719216.626103101.21101/4113.61.60210hcmEE（3）要使基态氢原子电离，至少需要的电子能量为113.6eVE。12.解：P的原子序数为15，按照能量最低原理和泡利不相容原理，在每个量子态内填充1个电子,得磷(P)的电子排布1s22s22p63s23p3。1s，2s和3s的6个电子0l，轨道角动量为10ll。2p和3p电子的9个电子1l，轨道角动量为12ll，该轨道角动量在z方向的投影可以为0,,m。13.解：由题目中波函数可以知道，该氢原子所处的状态是n=2,l=1,m=0与n=2,l=1,m=-1的混合态。氢原子的能量由主量子数决定，所以该氢原子的能量是n=2级能量1213.6eV3.4eV44EE，其概率为1.氢原子的角动量平方由l决定，其表达式为21ll，从而该氢原子的角动量平方为22212Lll，其概率为1.氢原子的角动量z分量由m决定，其表达式为m，从而其可能取值为：21220,1/21/4,3/23/4概率为P概率为P平均值为z01/43/43/4L。14.解：氢原子处于基态时，电子的径向概率密度为0022/2/10103/230024raraPrRreeaa。电子处于半径为0r球内的概率为020010002000221exp2/1rrrPPrdrraaa。从而电子处在02ra的概率为1减去电子处在半径为02a球内的概率，即020020024004813exp4/10.24raaaPaaaae(2)求解超越方程20000200221exp2/10.9rrraaa，可得002.66ra15.证明：根据题意可知，l=2,m=1，查表可知，波函数对应的球谐函数为：2,115,sincos8iYe在,对应的立体角d发现电子的概率为22222,11515,sincossin2832PdYddd可见，当/4,3/4时有极大值。16.解：电子自旋的角动量的大小为/2L，球体绕其过球心的转轴做定轴转动的转动惯量是2221510JmRmd，则其绕轴转动的角速度是22/251/10LJmdmd表面最大的线速度是34113115556.62610/27.310m/s249.10910110vdmd讨论：该线速度远远大于光速，说明了该自旋是相对论效应的必然结果。电子自旋就像是电子质量和电荷一样，是电子的固有属性。17.解：钠黄双线是从3P3/2和3P1/2两个能级向3S1/2能级跃迁产生的光谱精细结构，对应的两个波长分别是12589.592nm,588.995nm，两个能级的产生是由于电子自旋和轨道角动量的耦合，且两个能级分别比原有3P能级高/低BB，能级差为2134892231121116.626102.99710588.995589.592103.4410J2.1510eVBEBhvhc又242.2710J/T2Beem从而电子受到的磁场为22243.441018.6T229.2710BEB三、问答题18.氢原子中，电子处在原子核的有心力场内作三维运动，根据求解该薛定谔方程，可以得到只有当满足如下三个量子条件时，方程具有解析解：（1）氢原子中电子能量是量子化的，对应主量子数n；（2）氢原子中电子的角动量是量子化的，对应角量子数l；（3）电子角动量在空间给定方向的投影是量子化的，对应磁量子数m。能级简并是指对于任意能量En，有一个主量子数n，但（n,l,m）的组合总计有n2个，相应的有n2个波函数，它描述了电子处于同一能级En时的n2个不同的量子状态，这些状态具有相同的能量En，这种情况称为能级的简并。19.案例一：反常塞曼效应：银原子束被不均匀磁场分裂成两束。案例二：碱金属原子光谱中的双线精细结构。20.全同粒子是指静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子。玻色子的自旋是的整数倍，遵循玻色爱因斯坦统计分布规律，全同波色粒子的波函数对两个粒子的交换总是对称的。如介子(s=0)，光子(s=1)等。费米子的自旋是的半奇数倍，遵循费米狄拉克分布规律，全同费米粒子的波函数对两个粒子的交换总是反对称的。如电子，质子，中子等。21.对于基态氢原子（n=1），电子波函数为100101/4rRr，从而电子在核外的任意~rrdr的球层出现的概率密度由022/2321001/raPrdrRrdraerdr决定，理论上讲电子可出现在核外空间任意位置，但只有当105.29nmra时，其概率最大，即基态氢原子在半径为1r的球壳出现的机会最多。这正好对应于波尔量子理论中n=1的容许轨道。电子云就是电子在原子核外空间的概率分布图像，电子云浓密的地方，表示电子出现的机会越多；反之，表示电子出现的机会较小。它并不能表示电子的运动状态。