概率的加法公式

12．3．1概率的加法公式2．任意事件概率的加法公式任意事件概率的加法公式为P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）公式可以推广到有限个事件的情形。下面给出三个事件的并的概率加法公式：P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）例2如图12-6（课本）所示的线路中，元件a发生故障的概率为0.08,元件b发生故障的概率为0.05,元件a,b，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。解设A={元件a发生故障}，B={元件b发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识可知C=A∪B。根据题意可知，P（A）=0.08,P(B)=0.05,P(AB)=0.004.由公式12-4得P(C)=P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）=0.08+0.05－0.004=0.126.课堂练习12．3．2概率的乘法公式1．条件概率定义在事件A发生的条件下发事件B发生的概率叫条件概率，记作P（B︱A）。例3五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。解设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。由于事件A已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍有三个，于是由古典概型可知P（B︱A）=43条件概率有以下计算公式：P（B︱A）=)()(APABPP（A）≠0P（A︱B）=)()(BPABPP（B）≠0。（12-6）课堂练习2．乘法公式由条件概率的计算公式可得P（AB）=P（A）P（B︱A）=P（B）P（A︱B）（12-7）公式（12-7）称为概率的乘法公式。例4设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次，每次任取一只，取后不再放回。问两次都取到正品管子的概率是多少？解设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。则AB={两次都取到正品管子}。因为P（A）=106，P（B︱A）=95，所以，由公式（12-7）得P（AB）=P（A）P（B︱A）=3195106。概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式：P（ABC）=P（A）P（B︱A）P（C︱AB）。12．3．3事件的独立性定义如果事件A（或B）的发生不影响事件B（或A）发生的概率，即P（B︱A）=P（B）或P（A︱B）=P（A），那么事件A、B叫做相互独立事件。如果事件A、B相互独立，那么两事件的积AB的概率等于两个事件概率的乘积，即P（AB）=P（A）P（B）反过来，如果上式成立，那么事件A、B一定相互独立。如事件A和事件B相互独立，则A与BAABB,与，与都是相互独立的。如果事件nAAA，,,21中任一事件iA（i=1，2，…，n）发生的概率不受其他事件发生的影响，那么事件nAAA，,,21叫做相互独立事件，并且有P（nAAA21）=P）（）（）（nAAPA21例5掷甲、乙两枚硬币，事件A表示甲币出现“正面向上”，事件B表示乙币出现“正面向上”，计算P（A），P（B），P（B︱A）和P（A︱B）。解根据题意，全集Ω={（正正），（正反），（反正），（反反）}，所以P（A）=,2142)(,2142BP，P（B︱A）=21，P（A︱B）=21。由例5可以看出，P（B︱A）=P（B），P（A︱B）=P（A），即事件A、B相互独立。例6甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率。解设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}。由于甲（或乙）是否击中目标，对乙（或甲）是否击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立的事件，A与BABAB与，与,都是相互独立事件。（1）“两人都击中目标”就是事件AB，由公式（12-9）得P（AB）=P（A）P（B）=0.6×0.6=0.36(2)事件”恰有1人击中目标”就是事件BABA，所以P（BABA）=)()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP=0.6×（1－0.6）+(1－0.6)×0.6=0.48(3)事件“至少有1人击中目标”即事件A∪B,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)－P（AB）=P（A）+P（B）－P（A）P（B）=0.6+0.6－0.6×0.6=0.84或用A∪B的逆事件“两人都未击中目标”也就是BA来计算P（A∪B）=1－P（BA）=1－P（)()BPA=1－（1-0.6）×(1－0.6)=0.84课堂练习：p183.1.2.3.小结：1、互斥事件概率的加法公式2、任意事件概率的加法公式3、条件概率及其求法4、概率的乘法公式5、事件的独立性