第三章3.2导数的应用---含参的分类讨论

§3.2导数的应用第一章导数及其应用典例：(14分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．审题视角规范解答温馨提醒答题模板利用导数求函数最值问题题型分类·深度剖析典例：(14分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．解(1)f′(x)＝1x－a(x0)，①当a≤0时,f′(x)＝1x－a0,即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．题型分类·深度剖析1分规范解答温馨提醒3分答题模板利用导数求函数最值问题审题视角②当a0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a，当0x1a时，f′(x)＝1－axx0；当x1a时，f′(x)＝1－axx0，故函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞.5分典例：(14分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．(2)①当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.②当1a≥2，即0a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.题型分类·深度剖析9分规范解答温馨提醒答题模板利用导数求函数最值问题审题视角10分③当11a2，即12a1时，函数f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，典例：(14分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．所以当12aln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.题型分类·深度剖析规范解答温馨提醒答题模板利用导数求函数最值问题审题视角12分综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是ln2－2a.14分典例：(14分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．题型分类·深度剖析规范解答温馨提醒答题模板利用导数求函数最值问题审题视角用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范．1()=1+).xfxeax练.求在[，上的最小值解：()=xfxea1)0,a当()0fx，()[1+)fx在，单增，min()=(1)=fxf;ea2)0,ae当()0fx，()[1+)fx在，单增，min()=(1)=fxf;ealn1,a3),ae当()0fx，()(1,ln)fxa在单减，min()=(ln)=fxfaln.aaaln1,a(1,ln),xa()0fx，()(ln,+)fxa在单增，(ln,),xamin,,()ln,.eaaefxaaaae综上，题型分类·深度剖析答题模板利用导数求函数最值问题21.()=(1)ln(0),().2fxxaxaxafx例设求的单减区间解：()=(1)afxxax2(1)()=xaxafxx(1)()()=(0)xxafxxx1)01a当，()01,fxax()(,1)fxa的单减区间为；3)1a当，()01,fxxa()(1,).fxa的单减区间为2)1a当，()0,fx()fx无单减区间；综上，题型分类·深度剖析利用导数求函数最值问题题型分类·深度剖析利用导数研究函数的单调性练4：。为减函数，求实数上为增函数，在（），在区间（，若函数例a)1,441x)1a(ax21x31f(x)323解：1)(2'aaxxxf5a01a4a160)4(f'代入得由题意得题型分类·深度剖析利用导数研究函数的单调性例3若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的范围．•解法一：(转化为不等式的恒成立问题)•f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2x＋15，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，•又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋17，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a≤7.题型分类·深度剖析利用导数研究函数的单调性解法二：(数形结合)•如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．所以f′(4)≤0，f′(6)≥0，即3(5－a)≤0，5(7－a)≥0，所以5≤a≤7.题型分类·深度剖析利用导数研究函数的单调性•[点评]本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想．•[解析]解法三：(区间法)•f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.•当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．•当a－11，即a2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，•所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.题型分类·深度剖析利用导数研究函数的单调性基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．题型分类·深度剖析题型一利用导数研究函数的单调性思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．思维启迪解析探究提高利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．题型分类·深度剖析题型一解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上递增，若a0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是[lna，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．思维启迪解析探究提高利用导数研究函数的单调性∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2x3，∴e－2exe3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．基础知识题型分类思想方法练出高分•含参数的不等式恒成立、存在性问题•(1)∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，都有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)max；•(2)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)max≥g(x)min；•(3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)min；•(4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)max≥g(x)max;•(5)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)=g(x2)成立⇔f(x)的值域与g(x)的值域交集不为空.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.题型分类·深度剖析由f′(x)≥0，得a≤32x－1x.记t(x)＝32x－1x，当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝32(1－1)＝0.∴a≤0.(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－13，x2＝3.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：题型分类·深度剖析x(－∞，－13)－13(－13，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)的单调递增区间为－∞，－13，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为－13，3.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值(1)单调区间即为f′(x)0，f′(x)0的解区间．(2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个．思维启迪解析探究提高【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值解(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋3)(x－2－3)．思维启迪解析探究提高当x∈(－∞，2－3)时，f′(x)0，f(x)在(－∞，2－3)上单调递增；当x∈(2－3，2＋3)时，f′(x)0，f(x)在(2－3，2＋3)上单调递减；当x∈(2＋3，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(2＋3，＋∞)上单调递增．综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－3，2＋3)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值(2)f′(x