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拉普拉斯变换：𝐅(𝐬)=∫𝒇(𝒕)𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕+∞𝟎拉普拉斯反变换：𝒇(𝐭)=𝟏𝟐𝝅𝒋∫𝐅(𝐬)𝒆𝒔𝒕𝒅𝒔𝒄+𝒋∞𝒄−𝒋∞开环控制系统：信号从控制器到执行机构再到被控对象单方向传递，输出量不对控制作用产生影响。闭环控制系统：被控对象的输出反方向被引到控制系统的输入端，信号沿前向通路和反馈通路闭路传输，控制量不仅与参考输入有关，还与输出有关，即根据参考输入和系统输出之间的偏差进行控制。开环与闭环控制系统比较：1）开环控制系统结构简单、成本低，但无法克服被控对象变化和扰动对输出产生的影响2）闭环控制系统需要对输出量进行测量，存在稳定性设计问题，较开环控制系统复杂，但可有效的克服被控对象变化和扰动对输出的影响一阶惯性环节阶跃响应性能指标：延迟时间:𝐭𝒅=𝟎.𝟔𝟗𝐓上升时间：𝐭𝒓=𝟐.𝟐𝐓t=T时响应：𝐜=𝟎.𝟔𝟑𝟐𝐑调节时间：𝐭𝒔=𝟑𝐓(5%误差带)调节时间：𝐭𝒔=𝟒𝐓(2%误差带)一阶系统单位斜坡响应：减少时间常数T的影响：1）可以加快瞬态响应速度2）可以减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差二阶系统的时域分析：（1）欠阻尼二阶系统（无零点）系统输出响应：𝒄(𝒕)=𝟏−𝟏√𝟏−𝝃𝟐𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒅𝒕+𝜷)，𝜷=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏√𝟏−𝝃𝟐𝝃=𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝝃峰值时间：𝐭𝒑=𝛑𝝎𝒏√𝟏−𝝃𝟐上升时间：𝐭𝒓=𝛑−𝜷𝝎𝒏√𝟏−𝝃𝟐超调量：𝝈%=𝐞−𝝅𝝃√𝟏−𝝃𝟐×𝟏𝟎𝟎%调节时间：𝐭𝒔={𝟑.𝟓𝝎𝒏𝝃(𝟓%误差带)𝟒.𝟓𝝎𝒏𝝃(𝟐%误差带延迟时间:𝐭𝒅=𝟏+𝟎.𝟕𝛏𝝎𝒏振荡次数𝐍=𝐭𝒔𝑻𝒅=𝐭𝒔∗𝝎𝒏√𝟏−𝝃𝟐𝟐𝛑（2）临界阻尼二阶系统（无零点）系统输出响应：𝒄(𝒕)=𝟏−𝒆−𝝎𝒏𝒕𝝎𝒏𝒕−𝒆−𝝎𝒏𝒕调节时间：𝐭𝒔=𝟒.𝟕𝟓𝑻𝟏,𝑻𝟏=𝑻𝟐（3）过阻尼二阶系统（无零点）延迟时间:𝐭𝒅=𝟏+𝟎.𝟔𝛏+𝟎.𝟐𝛏𝟐𝝎𝒏上升时间：𝐭𝒓=𝟏+𝟏.𝟓𝛏+𝛏𝟐𝝎𝒏（4）无阻尼二阶系统（无零点）系统输出响应：𝒄(𝒕)=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝝎𝒏𝒕（5）含零点的二阶振荡系统（欠阻尼）：𝚽(𝐬)=𝝎𝒏𝟐(𝟏+𝝉𝒔)𝒔𝟐+𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔+𝝎𝒏𝟐1）输出响应:𝒄(𝒕)=𝟏−𝒍√𝟏−𝝃𝟐|𝒛|𝒆−𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒅𝒕+𝜷+𝜽)2）峰值时间：𝐭𝒑𝒛=𝛑−𝛉𝝎𝒏√𝟏−𝝃𝟐=𝐭𝒑−𝜽𝝎𝒅上升时间：𝐭𝒓𝒛=𝛑−𝜷−𝜽𝝎𝒏√𝟏−𝝃𝟐=𝐭𝒓−𝜽𝝎𝒅3）超调量：𝝈𝒛%=𝒍|𝒛|𝝈%×𝐞𝜽𝝃√𝟏−𝝃𝟐×𝟏𝟎𝟎%调节时间：𝐭𝒔𝒛={𝐭𝒔+𝟏𝝎𝒏𝝃𝐥𝐧(𝒍|𝒛|)(𝟓%误差带)𝐭𝒔+𝟏𝝎𝒏𝝃𝐥𝐧(𝒍|𝒛|)(𝟐%误差带测速反馈：（1）闭环传函𝚽(𝐬)=𝝎𝒏𝟐𝒔𝟐+(𝟐𝝃+𝝎𝒏𝑲𝒕)𝝎𝒏𝒔+𝝎𝒏𝟐,𝝃𝟏=𝝃+𝝎𝒏𝑲𝒕𝟐PD控制：（2）闭环传函𝚽(𝐬)=𝝎𝒏𝟐(𝟏+𝑻𝒅𝒔)𝒔𝟐+(𝟐𝝃+𝝎𝒏𝑻𝒅)𝝎𝒏𝒔+𝝎𝒏𝟐,𝝃𝟏=𝝃+𝝎𝒏𝑻𝒅𝟐测速反馈与PD控制异同点：1）相同点：可增大系统阻尼比，不改变系统自然震荡频率；2）不同点：（1）测速反馈会降低系统的开环增益，从而增大系统在斜坡响应下的稳态误差（2）附加阻尼来源：PD控制：阻尼作用产生于系统输入端误差信号的速度测速反馈：阻尼作用产生于系统输出端响应的速度，易产生较大的稳态误差（3）使用环境：PD控制：对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例-微分控制。同时，微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器。测速反馈：对系统输入端噪声具有明显的滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合广泛（4）对开环增益和自然震荡频率的影响PD控制：对系统开环增益与自然震荡频率无影响(𝑲𝒅不变情况下)测速反馈：虽不影响自然震荡频率，但会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统的自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起共振。（5）对动态性能的影响比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可加快响应时间，在相同阻尼比条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈系统超调量不用PD控制的几种情况：（1）造价高（需要引入放大环节）（2）Err附近有干扰（因为微分环节存在，即使扰动输入为零，其误差导数依然存在，相当于延长干扰信号作用时间）（3）静动态产生矛盾（4）Err变化缓慢，此时PD的引入无异于增加成本不用测速反馈的几种情况：（1）动态误差要求小（2）高频信号控制，且响应速度要求过块的情况下。高阶系统：1）误差修正：设系统主导极点为s1,2，故修正系数为𝑷=∏𝒔𝒋𝒏𝒋=𝟑∏|𝒔𝟏−𝒔𝒋|𝒏𝒋=𝟑,𝑸=∏|𝒔𝟏−𝒛𝒊|𝒎𝒊=𝟑∏|𝒛𝒊|𝒎𝒊=𝟑调节时间为𝐭𝒔=𝟏𝝃𝝎𝒏𝒍𝒏(𝟐∆𝑭𝑸),𝑭=∏𝒔𝒋𝒏𝒋=𝟐∏|𝒔𝟏−𝒔𝒋|𝒏𝒋=𝟐2）特点：（1）高阶系统单位阶跃响应包含稳态分量与暂态分量两部分，稳态分量与输入有关，暂态分量与闭环极点类型有关（2）高阶系统暂态响应各分量衰减的快慢，决定于指数衰减常数即距离虚轴的远近（3）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅与极点在S平面中的位置有关，还与零点位置有关3）远离虚轴的闭环零点、非主导极点和闭环偶极子对系统性能的影响：（1）闭环零点使系统上升时间和峰值时间缩短，响应速度加快，超调量增大（2）闭环非主导极点使系统上升时间和峰值时间延长，响应速度变慢，超调量减小（3）不十分靠近原点的闭环偶极子，对系统动态响应影响可以忽略（4）若传递函数不含零点，系统可退化为二阶振荡系统（5）若传递函数含一个实数零点，系统可退化为含零点的二阶振荡系统内模原理：为使系统在参考输入和扰动输入信号下的稳态误差为0，应当将参考输入和扰动输入位于右半闭环复平面上的极点作为控制器的极点。赫尔维兹判据：线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程𝑎0s𝑛+𝑎1s𝑛−1+⋯⋯+𝑎𝑛−1s+𝑎𝑛=0各项系数构成的主行列式∆𝑛=|||𝑎1𝑎3𝑎5𝑎0𝑎2𝑎40𝑎1𝑎3⋯00⋯00⋯000𝑎0𝑎200𝑎10⋮0000⋮000𝑎0⋮000⋯00⋯00⋯⋱⋯⋯⋯0⋮𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−20⋮00𝑎𝑛|||其顺序主子式∆𝑖(𝑖=1,2,𝑛−1)全部为正。错开原理：将各时间常数错开可在保证系统稳定性的前提下允许较大的开环增益，从而使稳态误差减小。改善由扰动引起的误差方法：1）在前向通路的开环传递函数的扰动点前引入积分环节2）增大系统的开环增益，或与扰动点前相关的传函增益；3）提高各环节尤其是反馈元件的参数的时不变性和精度，可减小参数变化对系统输出的影响但1）、2）会影响系统稳定性，以下不会4）按扰动的补偿控制5）顺馈控制（前馈控制）180度根轨迹绘制原则：1.根轨迹分支数根轨迹分支数等于max{n,m}2.根轨迹的起点与终点若n≥m,根轨迹有n条起始于开环极点，有m条终止于开环零点,其余n-m条终止于无穷远处。若nm,根轨迹有n条起始于开环极点，有m条终止于开环零点,其余n-m条起始于无穷远处。3.实轴上根轨迹实轴上某一段区域，若其右端开环实零点个数与极点个数之和为奇数，则实轴上该区段为根轨迹区域4.根轨迹渐近线当m≠n时，有|m-n|条根轨迹沿|n-m|条渐近线终止于或起始于无穷远处，|n-m|条渐近线与实轴交点满足：𝛔𝒂=∑𝒑𝒋−∑𝒛𝒊𝒎𝒊=𝟏𝒏𝒋=𝟏|𝐧−𝐦||n-m|条渐近线与实轴夹角满足：𝛗𝒂=(𝟐𝒌+𝟏)𝝅|𝐧−𝐦|,𝐤=𝟎,±𝟏,⋯5.根轨迹起始角与终止角起始于开环极点𝑝𝑗处的根轨迹起始角为𝛉𝑝𝑗=(𝟐𝒌+𝟏)𝝅+∑∠(𝒑𝒋−𝒛𝒊)−∑∠(𝒑𝒋−𝒑𝒌)𝒏𝒌=𝟏𝒌≠𝒋𝒎𝒊=𝟏终止于开环零点𝑧𝑖处的根轨终止角为𝛉𝑧𝑖=(𝟐𝒌+𝟏)𝝅−∑∠(𝒛𝒊−𝒛𝒌)𝒎𝒌=𝟏𝒌≠𝒋+∑∠(𝒛𝒊−𝒑𝒋)𝒏𝒋=𝟏开环极点有𝑝1,⋯𝑝𝑟为r重极点，则初始角依次为𝛉𝑝1~𝑟=𝟏𝒓[(𝟐𝒌+𝟏)𝝅+∑∠(𝒑𝟏−𝒛𝒊)−∑∠(𝒑𝟏−𝒑𝒋)]𝒏𝒋=𝒓+𝟏𝒎𝒊=𝟏开环零点有𝑧1,⋯𝑧𝑠为z重零点，则终止角依次为𝛉𝑧1~𝑠=𝟏𝒔[(𝟐𝒌+𝟏)𝝅−∑∠(𝒛𝟏−𝒛𝒊)𝒎𝒊=𝒔+𝟏+∑∠(𝒛𝟏−𝒑𝒋)}𝒏𝒋=𝟏6.根轨迹分离点坐标根轨迹分离点满足：𝐝𝐅(𝐬)𝐝𝐬=𝟎的所有s,或满足∑𝟏𝐬−𝐩𝒋𝑛𝑗=1=∑𝟏𝐬−𝐳𝒊𝑛𝑖=1的所有s7.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点可通过劳斯判据确定8.根之和与根之积根之和∑𝐬𝒋𝑛𝑗=1=∑𝒑𝒊𝑛𝑖=1，根之积满足(−1)𝑛∏𝐬𝒊𝑛𝑖=1=(−1)𝑚𝐾∏𝐳𝒊𝑚𝑖=10度根轨迹绘制条件：（1）控制系统中含有正反馈内回路（2）分子或分母最高次项系数小于00度根轨迹绘制原则：1.根轨迹分支数根轨迹分支数等于max{n,m}2.根轨迹的起点与终点若n≥m,根轨迹有n条起始于开环极点，有m条终止于开环零点,其余n-m条终止于无穷远处。若nm,根轨迹有n条起始于开环极点，有m条终止于开环零点,其余n-m条起始于无穷远处。3.实轴上根轨迹实轴上某一段区域，若其右端开环实零点个数与极点个数之和为偶数，则实轴上该区段为根轨迹区域4.根轨迹渐近线当m≠n时，有|m-n|条根轨迹沿|n-m|条渐近线终止于或起始于无穷远处，|n-m|条渐近线与实轴交点满足：𝛔𝒂=∑𝒑𝒋−∑𝒛𝒊𝒎𝒊=𝟏𝒏𝒋=𝟏|𝐧−𝐦||n-m|条渐近线与实轴夹角满足：𝛗𝒂=𝟐𝒌𝝅|𝐧−𝐦|,𝐤=𝟎,±𝟏,⋯5.根轨迹起始角与终止角起始于开环极点𝑝𝑗处的根轨迹起始角为𝛉𝑝𝑗=𝟐𝒌𝝅+∑∠(𝒑𝒋−𝒛𝒊)−∑∠(𝒑𝒋−𝒑𝒌)𝒏𝒌=𝟏𝒌≠𝒋𝒎𝒊=𝟏终止于开环零点𝑧𝑖处的根轨终止角为𝛉𝑧𝑖=𝟐𝒌𝝅−∑∠(𝒛𝒊−𝒛𝒌)𝒎𝒌=𝟏𝒌≠𝒋+∑∠(𝒛𝒊−𝒑𝒋)𝒏𝒋=𝟏开环极点有𝑝1,⋯𝑝𝑟为r重极点，则初始角依次为𝛉𝑝1~𝑟=𝟏𝒓[𝟐𝒌𝝅+∑∠(𝒑𝟏−𝒛𝒊)−∑∠(𝒑𝟏−𝒑𝒋)]𝒏𝒋=𝒓+𝟏𝒎𝒊=𝟏开环零点有𝑧1,⋯𝑧𝑠为z重零点，则终止角依次为𝛉𝑧1~𝑠=𝟏𝒔[𝟐𝒌𝝅−∑∠(𝒛𝟏−𝒛𝒊)𝒎𝒊=𝒔+𝟏+∑∠(𝒛𝟏−𝒑𝒋)}𝒏𝒋=𝟏6.根轨迹分离点坐标根轨迹分离点满足：𝐝𝐅(𝐬)𝐝𝐬=𝟎的所有s,或满足∑𝟏𝐬−𝐩𝒋𝑛𝑗=1=∑𝟏𝐬−𝐳𝒊𝑛𝑖=1的所有s7.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点可通过劳斯判据确定8.根之和与根之积根之和∑𝐬𝒋𝑛𝑗=1=∑𝒑𝒊𝑛𝑖=1，根之积满足(−1)𝑛∏𝐬𝒊𝑛𝑖=1=(−1)𝑚𝐾∏𝐳𝒊𝑚