高中数学选修1-2讲义

依据〖普通高中课程标准试验教科书选修1-2〗编写第一章统计案例本章课标要求：了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。(1)独立性检验：了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用；(2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。第一节回归分析的基本思想及其初步应用一．知识归纳1．正相关：如果点散布在从左下角到右上角的区域，则称这两个变量的关系为正相关。2．负相关：如果点散布在从左上角到右下角的区域，则称这两个变量的关系为负相关。3．回归直线方程的斜率和截距公式：xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiinii1221121)()()(（此公式不要求记忆）。4．最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法。5.随机误差e：我们把线性回归模型eabxy，其中ba,为模型的未知参数，e称为随机误差。随机误差abxyeiii6.残差eˆ：我们用回归方程axbyˆˆˆ中的yˆ估计abx，随机误差)(abxye，所以yyeˆˆ是e的估计量，故axbyyyeiiiiiˆˆˆˆ，eˆ称为相应于点),(iiyx的残差。7.解释变量对于预报变量的贡献率2R：niiniiyyyyR12122)()ˆ(1，2R的表达式中21)(niiyy确定，故2R越大，残差平方和21)ˆ(niiyy越小，即模型的拟合效果越好；2R越小，残差平方和21)ˆ(niiyy越大，即模型的拟合效果越差。2R越接近1，表示回归效果越好。40455055606570150155160165170175180身高/cm体重/kg-8-6-4-2024680246810编号残差0501001502002503003502025303540温度产卵数01234567202224262830323436xz050100150200250300350400500600700800900100011001200130005010015020001234567x天数繁殖个数二．典型例题例1.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示，求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为cm172的女大学生的体重。解析：作出散点图如右：通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果。例2.一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列表如下：温度Cx0/21232527293235产卵数/y个711212466115325试建立y关于x的回归方程。解析：画出散点图如右：三．巩固提高1.为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：（1）以天数为变量x，繁殖个数为变量y，作出这些数据的散点图；（2）求出两变量间的回归方程。解析：作出散点图如右天数/x天123456繁殖个数/y个612254995190繁殖个数012345601234567繁殖个数（2）设xcecy21，令yzln，由计算器算得：112.169.0ˆxz，则有112.169.0ˆxey。第二节独立性检验的基本思想及其初步应用一．知识归纳1.分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。2.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。3.对于22列联表：2K的观测值))()()(()(2dbcadcbabcadnk。4.临界值0k表：)(02kkP0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果0kk，就推断“YX,有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“YX,有关系”。5.反证法与独立性检验原理的比较：反证法原理在假设0H下，如果推出矛盾，就证明了0H不成立。独立性检验原理在假设0H下，如果出现一个与0H相矛盾的小概率事件，就推断0H不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。二．典型例题例1.在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏而住院的男性病人中，有175人秃顶，利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系，能否在犯错误不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？解析：列联表如右：x123456z1.792.483.223.894.555.25患心脏病换其他病总计秃顶不秃顶总计三．巩固提高1.甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的联表：班级与成绩列联表：画出列联表的等高条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关系？2.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到药物效果与动物实验列联表：能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有疗效？第二章推理与证明本章课标要求：（1）合情推理与演绎推理：①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（2）直接证明与间接证明：①了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。第一节合情推理和演绎推理第一课时合情推理一．知识归纳1.合情推理包括：归纳推理和类比推理。归纳推理：由个别事实概括出一般结论的推理；类比推理：由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类也具有这些特征的推理。二．典型例题例1.观察可以发现;47531;3531;231;112222由上述具体事实能得出怎样的结论？优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390患病未患病总计服用药104555没服药203050总计3075105CBA例2.已知数列}{na的首项)(1,1*11Nnaaaannn，（1）求数列的通项公式；（2）若33231111nnaaaS，化简nS。例3.类比圆的特征，填写球的有关特征：圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）的中点的连线垂直与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点),(00yx为圆心，r为半径的圆的方程为22020)()(ryyxx三．巩固提高1.在ABCRt中，090C，cba,,为三边的长，则由勾股定理得222bac；类似地，在四面体DEFP中，090EDFPDEPDF，设SSSS,,,321分别表示PEFEDFPDEPDF,,,的面积，则我们猜想成立的一个等式为。2.有三根柱CBA,,和套在A柱上的若干金属片，按下列规则，把金属片从A柱上全部移到C柱上，①每次只能移动1个金属片；②较大的金属片不能放在较小的金属片的上面。设把A柱上的n片圆片全部移到C柱上所需的最少次数为na，回答：（1）321,,aaa是多少？（2）1,nnaa有怎样的关系？（3）求na。※印度有个古老的传说相传在佛教圣地贝那列斯的一个寺庙里有一块黄铜板，板上插着三个宝石针，第一根针上套着64片大小不等的金片，大的在底下，小的在上面，相传这是神在创世时留在那里的，不论白天黑夜，寺内都有一个僧人按照上述所说的法则移动金片，神预言，当这64片金片都移到另一个针上时，世界末日就降临了。根据计算，金片将被移动1264次，如果移动一次需要一秒钟，则共需要58万亿年，距现代科学家估计，太阳系的寿命为200亿年。3.在数列}{na中，)2)(1(21,1111naaaannn，猜想这个数列的通项公式为na。4.归纳凸多面体中，面数F，顶点数V和棱数E之间的关系：。5.在等差数列}{na中，若010a，则有),19(*192121Nnnaaaaaann成立，类比上述性质，在等比数列}{na中，若19b，则有。9.设4)2(),(0)(*fNnnf，且对于任意)()()(,,2121*21nfnfnnfNnn成立，猜想)(nf的表达式为。6.在数列}{na中，)(22,1*11Nnaaaannn，求数列的通项公式na。7.已知数列}{na的前n项和为nS，321a，满足)2(21naSSnnn，计算4321,,,SSSS，并猜想nS的表达式。你能求出它的表达式吗？8.类比正三角形和正四面体的性质正三角形（边长为a）正四面体（棱长为a）三个边长相等周长为a3面积为223a外接圆半径aR33内切圆半径ar63三角形的高ah23第二课时演绎推理一．知识归纳1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。这种推理称为演绎推理。CABFDMBCSA2.三段论是演绎推理的一般模式：（1）大前提─已知的一般原理；（2）小前提─所研究的特殊情况；（3）结论─根据一般原理，对特殊情况做出的判断。二．典型例题例1.如图，在锐角三角形ABC中，EDACBEBCAD,,,是垂足，求证：AB的中点M到点ED,的距离相等。例2.证明函数xxxf2)(2在)1,(上是增函数。三．巩固提高1.证明：通项公式为)0(cqcqann的数列}{na是等比数列，并分析证明过程中的三段论。2.已知三棱锥ABCS中，090CSABSCASB，求证：ABC是锐角三角形。第二节直接证明和间接证明第一课时直接证明和间接证明一．知识归纳1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导处所要证明的结论成立的证明方法。2.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）的证明方法。二．典型例题例1.在ABC中，设bCAaCB,，求证：222)(||||21babaSABC.ACBSEF例2.在ABC中，三个内角CBA,,的对边分别是cba,,，且CBA,,成等差数列，cba,,成等比数列，求证ABC是等边三角形。例3.求证：5273。例4.如图，SA面BCABABC,，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：SCAF。例5.已知)(2,Zkk，且sin2cossin，2sincossin，求证:)tan1(2tan1tan1tan12222.三．巩固提高1.求证：对于任意角2cossincos,44。2．求证：52276。3.已知asintan，bsintan，求证abba16)(222。4.已知BA,都是锐角，且2)tan1)(tan1(,2BABA，求证4BA。5.如图，PD面ABC，DBCAC,为AB的中点，求证PCAB。6.ABC的三边cba,,的倒数成等差数列，求证2B。7.已知1tan2tan1，求证2cos42sin3。8.设实数cba,,成等比数列，非零实数yx,分别为ba,和cb,的等差中项，求证2ycxa。9.设sin是cos,sin的等差中项，sin是cos,sin的等比中项，求证34cos44cos。第二课时反证法一．用反证法证明命题的步骤：（1）假设的结论不成立，即假设成立；（2）从出发，经过，得出矛盾；（3）由判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确。二．典例选讲例1．已