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(对应学生用书P83)一、动能(Ⅱ)1．定义：物体由于运动而具有的能．2．公式：Ek＝12mv2.3．单位：J,1J＝1N·m＝1kg·m2/s2.4．矢标性：动能是标量，只有正值．动能是状态量，其表达式中的v是瞬时速度，但动能的变化量是过程量．问题探究1物体速度改变了动能一定变化吗？[提示]不一定．二、动能定理(Ⅱ)1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．2．表达式：W＝Ek2－Ek1＝12mv22－12mv21.3．物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化量之间的关系，即合力的功是物体动能变化的量度．4．动能定理的适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功；(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．问题探究2用牛顿第二定律解题时，我们常常采用建立直角坐标系，把力或加速度分解到x、y轴上，然后沿x方向列出F合x＝max，沿y方向列出F合y＝may求解的方法．那么用动能定理解题时，能否运用类似的方法，建立直角坐标系，把力和速度沿x轴、y轴分解，然后沿x方向列出W合x＝ΔEkx，沿y方向列出W合y＝ΔEky求解？[提示]将合外力分解到x、y轴上，相当于两个分力做功．合外力所做的总功可以由两个分力所做的功的代数和求得，也可直接求合外力所做的功．由于速度为矢量，动能为标量，动能的变化为ΔEk＝12mv22－12mv21＝12m(v22x＋v22y)－12m(v21x＋v21y)＝12m(v22x－v21x)＋12m(v22y－v21y)所以合外力所做的功等于物体在x轴方向上由于速度变化而引起的动能的变化与在y轴方向上由于速度变化而引起的动能的变化的代数和．这个结论也可以分别在x轴、y轴方向上运用牛顿运动定律和运动学公式进行推导，但要注意动能不能分解，只是等于两个数值的代数和．(对应学生用书P84)要点一对动能定理的理解1.一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体所做功W具有等量代换关系．(1)若ΔEk0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功．(2)若ΔEk0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值．(3)若ΔEk＝0，表示合外力对物体所做的功等于零．反之亦然．这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法．2．动能定理公式中等号的意义等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系：(1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．(2)单位相同：国际单位都是焦耳．(3)因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因．3．动能定理中涉及的物理量有F、x、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理．由于只需要从力在整个位移内所做的功和这段位移始末两状态的动能变化去考虑，无需注意其中运动状态变化的细节，同时动能和功都是标量，无方向性，所以无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便．4．动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系．一个质量为0.3kg的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为()A．Δv＝0B．Δv＝12m/sC．W＝1.8JD．W＝10.8J[答案]B[解析]取末速度的方向为正方向，则v2＝6m/s，v1＝－6m/s，速度变化Δv＝v2－v1＝12m/s，A错误，B正确；小球与墙碰撞过程中，只有墙对小球的作用力做功，由动能定理得：W＝12mv22－12mv21＝0，故C、D均错误．要点二应用动能定理的解题步骤和注意的问题1.基本步骤(1)选取研究对象，明确它的运动过程；(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况；(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解．2．注意的问题(1)动能定理的研究对象是单一物体，或者是可以看做单一物体的物体系统．(2)动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式．当题目中涉及到位移时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理．(3)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功．(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负.当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为－W，也可以直接用一字母表示该力做功，使其字母本身含有负号．(1)应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系．有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意．(2)高考对该类问题常综合各种力及平抛、圆周运动、牛顿运动定律等知识，考查学生的理解、推理、分析综合能力．(2011·保定联考)“头脑风暴法”是上个世纪风靡美国的一种培养学生创新思维能力的方法，某学校的一个“头脑风暴实验研究小组”以保护鸡蛋为题，要求制作一个装置，让鸡蛋从高处落到地面而不被摔坏；鸡蛋要不被摔坏，直接撞击地面的速度最大不能超过1.5m/s.现有一位学生设计了如右图所示的一个装置来保护鸡蛋，用A、B两块较粗糙的夹板夹住鸡蛋，鸡蛋夹放的位置离装置下端的距离s＝0.45m，A、B夹板与鸡蛋之间的摩擦力都为鸡蛋重力的5倍，现将该装置从距地面某一高度处自由下落，装置碰地后速度为0，且保持竖直不反弹，不计装置与地面作用时间．(g＝10m/s2)求：刚开始装置的末端离地面的最大高度H.[解析]解法一：分阶段：设装置落地瞬间速度为v1，鸡蛋着地瞬间速度为v2＝1.5m/s，则从装置开始下落到着地过程，对鸡蛋应用动能定理有：mgH＝12mv21在装置着地到鸡蛋撞地过程，对鸡蛋应用动能定理有：mgs－2Ffs＝12mv22－12mv21，其中Ff＝5mg.代入相关数据解得：H＝4.16m.[答案]4.16m解法二：全过程：从装置开始下落到鸡蛋撞地全过程，对鸡蛋应用动能定理有：mg(H＋s)－2Ffs＝12mv22－0，代入数据解得：H＝4.16m.(对应学生用书P85)题型一利用动能定理求变力做功用动能定理求解变力做功的注意要点：(1)分析物体受力情况，确定哪些力是恒力，哪些力是变力．(2)找出其中恒力的功及变力的功．(3)分析物体初末状态，求出动能变化量．(4)运用动能定理求解．例1总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞.如下图所示是跳伞过程中的vt图象，试根据图象求：(g取10m/s2)(1)t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小；(2)估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功；(3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间．[思路诱导](1)运动员在前2s内做匀加速直线运动，阻力恒定；(2)v－t图象与t轴所围的面积表示运动员下落的高度；(3)2s～14s内阻力是变力．[尝试解答](1)从图中可以看出，在t＝2s内运动员做匀加速运动，其加速度大小为a＝vt＝162m/s2＝8m/s2设此过程中运动员受到的阻力大小为Ff，根据牛顿第二定律，有mg－Ff＝ma得Ff＝m(g－a)＝80×(10－8)N＝160N.(2)从图中由面积估算得出运动员在14s内下落了h＝39.5×2×2m＝158m根据动能定理，有mgh－Wf＝12mv2所以有Wf＝mgh－12mv2＝(80×10×158－12×80×62)J≈1.25×105J.(3)14s后运动员做匀速运动的时间为t′＝H－hv＝500－1586s＝57s运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间为t总＝t＋t′＝(14＋57)s＝71s.[答案](1)8m/s2160N(2)158m1.25×105J(3)71s运动员在2s～14s内受到的阻力是变力，不注意这一点，易出现克服阻力做的功Wf＝Ffh＝2.528×104J的错误结果．如下图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v0，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小F＝kv(k为常数，v为环的运动速度)，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(假设杆足够长)可能为()A.12mv20B．0C.12mv20＋m3g22k2D.12mv30－m3g22k2[答案]ABD[解析]当mg＝kv0时，即v0＝mgk时，环做匀速运动，Wf＝0，环克服摩擦力所做的功为零；当mgkv0时，即v0mgk时，环在运动过程中，速度减小，F减小，摩擦力Ff增大，最终环静止Wf＝0－12mv20，环克服摩擦力所做的功为12mv20.当mgkv0时，即v0mgk时，环在运动过程中，速度减小，F减小，摩擦力Ff减小到mg＝kv时，环做匀速运动，Wf＝12mv2－12mv20＝m3g22k2－12mv20，即环克服摩擦力所做的功为12mv20－m3g22k2.题型二动能定理在多过程问题中的运用物体在运动过程中若包含几个不同的过程，应优先考虑对全过程运用动能定理，这样比分段运用动能定理求解简单．因为运用动能定理解题时无需考虑中间过程的细节，只需考虑全过程中合外力做功的情况，以及初、末状态的动能，所以对于多过程、往复运动问题，对全过程运用动能定理比较简便．运用动能定理解题的思路可以概括为八个字：“一个过程，两个状态”．所谓一个过程是指做功过程，应明确问题涉及的过程中各外力所做的总功．两个状态是指初、末两个状态的动能．例2(18分)(2011·石家庄质检)如右图所示，竖直固定放置的粗糙斜面AB的下端与光滑的圆弧BCD的B点相切，圆弧轨道的半径为R，圆心O与A、D在同一水平面上，C点为圆弧轨道最低点，∠COB＝θ，现将质量为m的小物体从距D点为Rcosθ4的地方无初速度地释放，已知小物体恰能从D点进入圆轨道．求：(1)为使小物体不会从A点冲出斜面，小物体与斜面间的动摩擦因数至少为多少？(2)若小物体与斜面间的动摩擦因数μ＝sinθ2cosθ，则小物体在斜面上通过的总路程为多少？(3)小物体通过圆弧轨道最低点C时，对C点的最大压力和最小压力各是多少？[解题样板](1)为使小物体不会从A点冲出斜面，由动能定理得mgRcosθ4－________＝0(2分)解得动摩擦因数至少为μ＝sinθ4cosθ.(1分)(2)分析运动过程可得，最终小物体将从B点开始做往复运动，由动能定理得mg(Rcosθ4＋Rcosθ)－________＝0(2分)解得小物体在斜面上通过的总路程为s＝5Rcosθ2sinθ.(1分)(3)由于小物体第一次通过最低点时速度最大，此时压力最大，设为Nmax，由动能定理得mg(Rcosθ4＋R)＝12mv2(2分)由牛顿第二定律得________＝mv2R(2分)联立以上两式解得Nmax＝3mg＋12mgcosθ(1分)最终小物体将从B点开始做往复的运动，则有mgR(1－cosθ)＝12mv′2(2分)________＝mv′2R(2分)联立以上两式，解得Nmin＝mg(3－2cosθ)(1分)由牛顿第三定律，得小物体通过圆弧轨道最低点C时，对C点的最大压力N′max＝Nmax＝3mg＋12mgcosθ(1分)最小压力N′min＝Nmin＝mg(3－2cosθ)．(1分)[答案](1)μmgcosθRcosθsinθ(2)μmgscosθ(3)Nmax－mgNmin－mg(2011·中山模拟)如右图所示，倾角为θ的斜面上只有AB段粗糙，其余部分都光滑，AB段长为3L.有若干个相同的小方块(每个小方块视为质点)沿斜面靠在一起，但不粘接，总长为L.将它们静止释放，释放时下端距A为2L.当下端运动到A下面距A为L/