(整理)函数的定义域与值域

--------------------------函数的值域求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一.遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题更是少的屈指可数.原因可能是求函数的值域往往需要用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因而求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化.一、函数的值域的概念一般的，设函数)(xf的定义域为I，函数值的集合Ixxf|)(叫做函数的值域，它是由函数的定义域和对应关系共同决定的.值域还可以理解为函数值的取值范围.二、常见函数的值域(结合图像理解)1．一次函数)0(kbkxy的定义域是R，值域也是R.2．二次函数)0(2acbxaxy的定义域是R，当0a时，值域为abacyy44|2或,442abac当0a时，值域为abacyy44|2.或abac44,23．反比例函数)0(kxky定义域为0|xx或,00,，值域为0|yy或,00,.4．常函数cy的定义域为R，值域为c5．指数函数)1,0(aaayx的定义域为R，值域0|yy6．对数函数)1,0(logaaxya的定义域为0|xx，值域为R.7．幂函数3xy的定义域为R，值域为R.21xy的定义域为,0，值域为,08．三角函数xysin和xycos的定义域为R，值域为1,1xytan的定义域为Zkkxx,2|，值域为R.--------------------------9．对勾函数0,kxkxy的定义域为,00,，值域为,,kk三、常见函数在给定区间上的值域1.一次函数2.二次函数3.反比例函数四、图像法若给定函数能够作出图象，则可通过观察图象直接得出该函数的值域，但必须保证函数的图象要非常精确，尤其在一些关键的线(渐近线、分界限、对称轴等)和关键点（顶点、交点、间断点、孤立点、端点、定点等，及这些点的虚实情况）.主要处理分段函数的值域.1.41xxy答：,52.13xxy答：4,4五、单调性法如果函数)(xf在ba,上单调递增，则其值域为)(),(bfaf；如果函数)(xf在ba,上单调递减，则其值域为)(),(afbf.例1xxy1例211xxy2,0xxy112,2分子有理化例322)5(22310xxxxxy解：令cos25x则7251)4sin(2245,44,5)4sin(25cos2sin2sin2)5(2,0,1cos10cos220)5(2222yyxx，--------------------------六、定义法对于有些函数不能作出图像，单调性又不明确，要求出这些函数的值域需要从定义域（x的取值范围）出发，从内到外经过对应关系层层退出，直到求出函数值y的取值范围.主要用来处理复合函数的值域(对函数)(),(xguufy先求出)(xgu的值域充当)(ufy的定义域，从而求出))((xgfy的值域的方法).1.52xy2.)352(log221xxy,8493.11xxy七、分离常数法（齐次分式函数）1.一次齐次分数函数),0(bcadacbaxdcxy例111xxy例2112xxy例3xxy53例4121xxy例51213xxy2.部分二次齐次分数函数122xxxxy解：111111122222xxxxxxxxxxy--------------------------八、换元法（形如dcxbaxy的值域问题）1.xxy1令11xxt则0t注意新旧两元范围的变化2.21xxy三角换元令)0(cosx3.21xxy三角换元令sinx九、判别式法-----函数的值域就是使关于x的方程)(xfy在定义域有解的y的取值范围.形如22221121cxbxacbxay，其中021aa，且分子分母无非常数公因式.十、基本不等式法例1求函数xxy1的值域例2求函数)0(122xxxy的值域十一、十二、几何法利用几何上的一些结论，如两点间的线段最短、直线外一点与直线（或平面）上各点连线中垂线断最短.十三、反求法用y来表达x，适用于x的范围知道，且能用y来表达x例111xxeey例22cos31cos2xxy,351,xxysin2sin23,31求函数的值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法都有极强的针对性，每一种方法又不是万能的，要顺利的解答求函数的值域问题，必训熟练掌握各种技巧方法.--------------------------函数的图像知识网络清点