东大自控原理PPT第四章

第4章根轨迹法自动控制原理东北大学《自动控制原理》课程组2第4章根轨迹法主要内容根轨迹的基本概念根轨迹的绘制法则用根轨迹法分析系统的性能小结东北大学《自动控制原理》课程组3第4章根轨迹法学习重点了解根轨迹的基本特性和相关概念；了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则；掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能；了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系。东北大学《自动控制原理》课程组4第4章根轨迹法根轨迹法一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。1948年，由伊文思（W.R.Evans）提出。根轨迹法的任务由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。东北大学《自动控制原理》课程组54.1根轨迹法的基本概念根轨迹系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上的变化轨迹。东北大学《自动控制原理》课程组6)15.0(ssK例4.1二阶系统的根轨迹闭环传递函数特征方程闭环极点2()220DsssK22()22BKWsssK12112112sKsK4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组7研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同K值时，算得闭环特征根如下：K00-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j1s332s4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组84.1根轨迹法的基本概念K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在S平面上分布的影响。12112112sKsK东北大学《自动控制原理》课程组9根轨迹方程控制系统结构图开环传递函数)()()()()()()()()(11212121sDsNKpszsKsDsDsNsNKKsWgnjjmiigK4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组10式中：——开环零点；——开环极点。闭环系统特征方程式为或可写作izjp()11()0()gKKNsWsDsgnjjmiiKpszssDsN1)()()()(114.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组11这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又称为根轨迹方程。令s=σ+jω代入可得4.1根轨迹法的基本概念11()()1()()miingjjszNsDsKsp东北大学《自动控制原理》课程组12上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹方程又可分别表示成幅值条件：4.1根轨迹法的基本概念1111()()miiiinjjjjszlNsDsLsp1gssK开环有限零点到点的矢量长度之积开环极点到点的矢量长度之积东北大学《自动控制原理》课程组13辐角条件：（充分必要条件）4.1根轨迹法的基本概念式中：—开环有限零点到s点的矢量辐角；—开环极点到s点的矢量辐角；满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。1111()()mnmnijijijijNsszspDs180(12)(0,1,2,)oij东北大学《自动控制原理》课程组144.1根轨迹法的基本概念因为在0→∞范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。利用幅值条件计算值比较方便，它可以作为计算值的依据。gKgKgK东北大学《自动控制原理》课程组15绘制根轨迹的一般步骤（1）出=0和=∞时的特征根（2）根据绘制法则大致画出0∞时的根轨迹草图（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制gK4.2根轨迹的绘制法则gKgK东北大学《自动控制原理》课程组164.2根轨迹的绘制法则4.2.1绘制根轨迹的一般法则1．起点（=0）=0时，闭环系统的特征方程式等效为上式即为开环系统的特征方程式。所以，当=0时，闭环极点也就是开环极点。gKgKgKnjjpssD10)()(东北大学《自动控制原理》课程组174.2根轨迹的绘制法则2.终点（=∞）当=∞时，闭环系统的特征方程式等效为上式表明，当=∞时，闭环极点也就是开环有限零点。今设N(s)为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着=∞，它们都趋向无限远（无限零点）。gKgKgKgKmiizssN10)()(东北大学《自动控制原理》课程组184.2根轨迹的绘制法则3.根轨迹分支数和它的对称性根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式中s的最高次项，即为max(n,m)条。闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴。东北大学《自动控制原理》课程组194.2根轨迹的绘制法则4．实轴上的根轨迹根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角总为零；复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180∘。结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数。东北大学《自动控制原理》课程组204.2根轨迹的绘制法则证明：设为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，由辐角条件整理得所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足11(12)mnijzpijNN()2()(12)zzzpzzpNNNNNNN),2,1,0(21pzNNzNpN东北大学《自动控制原理》课程组214.2根轨迹的绘制法则例如下图所示，对于根轨迹A，=1（=1，=0）；对根轨迹B，=3；对根轨迹C，=5。它们都是奇数。pNzNpzNNpzNNpzNN东北大学《自动控制原理》课程组224.2根轨迹的绘制法则5．分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。东北大学《自动控制原理》课程组234.2根轨迹的绘制法则()1()10()[1()]()()0KgKgNsWsKDsWsKNsDs0)()(')()('sDsNsNsD分离点（会合点）的坐标由下列方程所决定ds整理得东北大学《自动控制原理》课程组244.2根轨迹的绘制法则说明：用分离点方程式求解后，需将所求结果代入特征方程式中验算。只有当与之对应的值为正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。gK东北大学《自动控制原理》课程组25如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。4.2根轨迹的绘制法则东北大学《自动控制原理》课程组26)4)(1()(sssKsWgK2212()(1)(4);()1()3104;()0()()()()031040;0.46;2.87DssssNsDsssNsDsNsDsNsssss4.2根轨迹的绘制法则22.87s不在根轨迹上，所以，舍去。东北大学《自动控制原理》课程组274.2根轨迹的绘制法则例4-2已知开环传递函数为式中，，求分离点和会合点。112()()()()()()ggKKNsKszWsDsspsp1120,0gKzpp解由已知：1)(zssN))(()(21pspssD12()(2)Dsspp()1Ns东北大学《自动控制原理》课程组284.2根轨迹的绘制法则代入分离点和会合点方程，有由此得分离点和会合点分别为'()()'()()DsNsNsDs12112(2)()()()0sppszspsp))((211111pzpzzs))((211112pzpzzs东北大学《自动控制原理》课程组294.2根轨迹的绘制法则该系统的根轨迹图如下图所示东北大学《自动控制原理》课程组304.2根轨迹的绘制法则6．根轨迹的渐近线——研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。当nm时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。东北大学《自动控制原理》课程组314.2根轨迹的绘制法则),2,1,0()21(180mno无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为，即ji1118012mnijijmn独立的渐近线只有（n-m）条（1）渐近线的倾角代入辐角条件得即渐近线的倾角为东北大学《自动控制原理》课程组324.2根轨迹的绘制法则gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111111111()nmnmkgnmnmjijisKspzs当时，，即得ksskjipz（2）渐近线的交点k由幅值条件东北大学《自动控制原理》课程组334.2根轨迹的绘制法则令上式中等式两边的项系数相等，即得渐近线的交点mnzpmiinjjk11由于和是实数或共轭复数，故必为实数，因此渐近线交点总在实轴上。jpizk东北大学《自动控制原理》课程组344.2根轨迹的绘制法则例4-3设开环传递函数为)4)(1()(sssKsWgK180(12)180(12)60,60,18030ooooonm试确定其根轨迹渐近线。解（1）计算渐近线倾角。因为m=0,n=3,所以可得渐近线倾角为东北大学《自动控制原理》课程组354.2根轨迹的绘制法则111405303nmjijikpznm因为n=3,m=0；所以渐近线交点为0120,1,4;ppp（2）计算渐近线交点。东北大学《自动控制原理》课程组364.2根轨迹的绘制法则7．根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开S平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。入射角：根轨迹进入S平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。scsr东北大学《自动控制原理》课程组374.2根轨迹的绘制法则例4-4已知开环传递函数为试计算起点（-1+j1）的斜率。)22)(3()2()(2sssssKsWgK东北大学《自动控制原理》课程组38把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为4.2根轨迹的绘制法则解令稍为增大，在（-1+j1）附近的特征根应满足辐角条件，即ksks11234()180(12)oo6.264112345,135,26.690oooo，解得东北大学《自动控制原理》课程组394.2根轨迹的绘制法则111180nmoscjiji111180nmosrjiji同理可得入射角的计算公式为通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为东北大学《自动控制原理》课程组404.2根轨迹的绘制法则8．根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根，此时系统处于临界稳定状态，令此时的。由此可计算对应的临界放大系数值。确定交点的方法：（1）把代入特征方程式；（2）利用劳斯判据。sjlKglKKsj东北大学《自动控制原理》课程组414.2根轨迹