抽象函数性质求解中的赋值策略

1抽象函数性质求解中的赋值策略武汉市第四十九中学魏志平（430080）抽象函数是指没有给出具体解析式的函数类型，研究抽象函数的性质最终都要通过赋值实现。由于抽象函数没有给出函数的具体解析式，所以学生在变形，运算过程中往往感到无处下手。了解赋值的思维过程，能有效地提高学生的分析问题、解决问题的能力，提升学生的思维品质。一、具体函数类比赋值借助具体函数的性质及研究方法，利用两者之间的相似性，类比获得赋值的方向。例1.设函数xf的定义域为,0，对于任意正实数x、y均有yfxfxyf，当1x时，0xf，判断函数xf的单调性并说明理由。分析：对数运算符合yfxfxyf，如果当1x时，0xf，则相应对数函数单调递增。变形的关键是将“21xfxf”中的“—”变为“+”，对比对数运算中“bbaalog1log”即可获得赋值的思路。证明：令xy1得11fxfxf再令1yx得121ff01fxfxf1在,0中任取两个变量1x、2x，且21xx，则22121211xxfxfxfxfxf021xx121xx又1x时，0xf21xfxf即函数xf单调递增。例2.设函数xf的定义域为,，并且满足条件：存在21xx，使得21xfxf，又对于任何x和y，yxfyfxf成立，判断函数xf的奇偶性并说明理由。分析：指数运算符合yxfyfxf，由指数函数的性质可知函数xf没有奇偶性，且xfxf1。证明：令xy得0fxfxf再令0yx得002ff当00f时，0xf这与存在21xx，使得21xfxf矛盾，所以10f。假设函数xf有奇偶性1当xf为奇函数时，xfxf由xfxf1得12xf，矛盾；32当xf为偶函数时，xfxf由xfxf1得12xf。可证0xf，所以1xf这与存在21xx，使得21xfxf矛盾综合12知假设不成立，即函数xf没有奇偶性。二、定义倒推对比赋值波利亚指出：从后向前推，是一个非常一般和有用的模式。研究抽象函数的性质，可由定义出发，倒过来寻找赋值的契机。例3.（题目例1）分析：由函数单调性的定义可知，要探讨xf在,0上的单调性，实质上就是通过任取021xx，然后判断21xfxf的符号。对照要求，将yfxfxyf变形为yfxfxyf，即可获得赋值的方式。证明：在,0中任取两个变量1x、2x，且21xx，令1xxy，2xx，则121xxy02121xxfxfxf21xfxf即函数xf单调递增。例4.已知定义在R上的函数xf对于任意x、Ry都有yfxfyxfyxf24若存在常数0c，使得02cf，求证：xf是周期函数。分析：所谓周期性，就是存在一个非零的常数c，使xfcxf，对比yfxfyxfyxf2知，首要的工作就是使yfxf=0，结合已知条件02cf，令2cx或2cy均可。证明：令2cy，得022cxfcxf即xfcxfcfcxfcxf2xf是周期函数。三、引进参量赋值由于不等式不能恒等传递，因此，我们通常引进参量构造等式进行恒等变形。例5.（题目例1）证明：在,0中任取两个变量1x、2x，且21xx，设21kxx，则1k2221xfkxfxfxf22xfxfkfkf当1x时，0xf21xfxf即函数xf单调递增。5例6.已知函数xf对于任意实数x、Ry都有yfxfyxf且当0x时，0xf判断函数xf的单调性并说明理由。证明：设21xx，且mxx21，则0m2221xfmxfxfxf22xfxfmfmf0x时，0xf21xfxf即函数xf单调递增。四、结构分析赋值有时，试题的结构特点中直接暗示了解题的方向。例7.函数的定义域关于原点对称，且满足以下两个条件：1若1x、2x是定义域中的数，则1221211xfxfxfxfxxf21af(常数0a)试证：1xf是奇函数；2xf是周期函数。分析：由于1221211xfxfxfxfxxf是对称轮换式，显然21xxf与12xxf互为反函数。证明：11221211xfxfxfxfxxf62112121xfxfxfxfxxf得21xxf=-12xxf令xxx21，则xxx12得xfxfxf是奇函数21afaf令xx1、ax2，则ax2111xfxfxfafafxfaxfxfaxfaxfaxf1112xfaxf4xf是周期函数且周期为a4。