新人教版八年级上册数学[轴对称全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2.了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】【389304轴对称复习，本章概述】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C；解：连接AP，BP，CP，∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用解：分别作P关于OM、ON的对称点1P，2P，连接12PP交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.∵∠MON＝40°∴∠12PPP＝140°.∠1PPA＝12∠PAB,∠2PPB＝12∠PBA.∴12(∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°∵∠PAB＝∠1P＋∠1PPA,∠PBA＝∠2P＋∠2PPB∴∠1P＋∠2P＋∠12PPP＝180°∴∠APB＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】（2015•乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小．（保留作图痕迹不写作法）（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为．【答案】解：（1）作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C点符合要求．（2）作图如下：精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（3）①作图如下：②∵∠BAE=125°，∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．3、（2016春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A．4B．3C．2D．1【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x=3的距离为2，再利用对称点的性质得出答案．【答案】D；【解析】解：∵该点关于直线x=3的对称点N的坐标为（5，3），∴对称点到直线x=3的距离为2，∵点M（a，3）到直线x=3的距离为2，∴a=1【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点到直线x=3的距离是解题关键．举一反三：【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△AOB关于直线m对称，已知A（1，2），则点'A的坐标为（）A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案】D；提示：因为Rt△AOB与Rt△AOB关于直线m对称，所以通过作图可知，A的坐标是（－2，－1）．【轴对称复习：例10】【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．【答案】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABPS△=12AB•PE，ACPS△=12AC•PF，ABCS△=12AB•CH．又∵ABPACPABCSSS△△△，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABPS△=12AB•PE，ACPS△=12AC•PF，ABCS△=12AB•CH，∵ABPS△=ACPS△+ABCS△，∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABCS△=12AB•CH，AB=AC，∴12×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°.求ADB的度数．【答案与解析】解：将ABD△沿AB翻折，得到ABE△，连结CE，则ABDABE△≌△，∴,,BDBEADBAEB∠1＝∠5＝12°.∴125EBC60°∵3ABC48°∴ABAC．又∵∠2＝36°，34BCD72°，∴,BDCBCDBDBC∴BE＝BC∴BCE△为等边三角形.∴.BECE又,ABACAE∴垂直平分BC．∴AE平分BEC．∴12AEBBEC30°∴∠ADB＝30°【总结升华】直接求ADB很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD△全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度数.【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DEACD123B5E精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE,∠DAB＝∠EAC＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形∴∠AED＝60°∵∠DAB＝∠DBA＝10°∴AD＝BD＝DE＝EC∴∠AEC＝160°，∴∠DEC＝140°∴∠DCE＝20°∴∠ACD＝30°类型三、等边三角形的综合应用6、（2014秋•辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”、“＜”或“=”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AEDB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交