函数性质的综合运用常见题型与解题方法总结

-1-/1611xyo1y10函数性质的综合运用1.函数11yx的图像与函数2sinyx（24x）的图像所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．82.已知函数()yfx的周期为2，当[1,1]x时函数2()fxx，那么函数()yfx的图像与函数lgyx的图像的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个【答案】A【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图．容易判断出两函数图像的交点个数为10个，故选择A．3.已知函数|lg|,010,()16,10.2xxfxxx若,,abc互不相等，且()()(),fafbfc则abc的取值范围是-2-/16(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)【答案】C【解析】命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.作出函数()fx的图象如右图，不妨设abc，则1lglg10(0,1)2abc则(10,12)abcc.应选C.4.设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则PQ最小值为（）5.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=____答案：2解析：222(1)sin2sin()1,11xxxxfxxx设22sin(),()(),()1xxgxgxgxgxx为奇函数，由奇函数图像的对称性知maxminmaxminmaxmin()()0,[()1][()1]2()()2.gxgxMmgxgxgxgx考点定位：本题考查函数的性质,奇函数性质的应用，考查学生的转化能力.O11210xy-3-/16【最新考纲解读】1．函数与方程①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．2．函数模型及其应用①比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用．3.函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性．要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性．新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性．4.函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式．5．函数与方程、函数的应用主要考查：(1)零点与方程实数解的关系．(2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题．(3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题．(4)函数与解析几何知识的综合问题．(5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等．【回归课本整合】1.函数的奇偶性.（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法；②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0fxfx或()1()fxfx（()0fx）.③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.（3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx.④若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.2.函数的单调性1.函数单调性的定义：（1）如果函数xf对区间D内的任意21,xx，当21xx时都有21xfxf，则xf在D内是增函数；当21xx时都有21xfxf，则xf在D内是减函数.（2）设函数()yfx在某区间D内可导，若0fx，则()yfx在D内是增函数；若0fx，则()yfx在D内是减函数.-4-/162.单调性的定义（1）的等价形式：设baxx,,21，那么xfxxxfxf02121在,ab上是增函数；xfxxxfxf02121在,ab上是减函数；3.证明或判断函数单调性的方法：(1)定义法：设元作差变形判断符号给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数.解决问题的关键是区分好内外层函数，掌握常用基本函数的单调性；（3）图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；（4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.（5）利用常用结论判断：①奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③在公共定义域内，增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数;③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，3.函数的周期性.（1）类比“三角函数图像”得：①若()yfx图像有两条对称轴,()xaxbab，则()yfx必是周期函数，且一周期为2||Tab；②若()yfx图像有两个对称中心(,0),(,0)()AaBbab，则()yfx是周期函数，且一周期为2||Tab；③如果函数()yfx的图像有一个对称中心(,0)Aa和一条对称轴()xbab，则函数()yfx必是周期函数，且一周期为4||Tab；（2）由周期函数的定义“函数()fx满足xafxf(0)a，则()fx是周期为a的周期函数”得：函数()fx满足xafxf，则()fx是周期为2a的周期函数。4.函数的对称性.①满足条件f(a+x)=f(b-x)的函数的图象关于直线2abx对称.②点(,)xy关于y轴的对称点为(,)xy；函数xfy关于y轴的对称曲线方程为xfy；③点(,)xy关于x轴的对称点为(,)xy；函数xfy关于x轴的对称曲线方程为xfy；④点(,)xy关于原点的对称点为(,)xy；函数xfy关于原点的对称曲线方程为xfy；⑤点(,)xy关于直线yx的对称点为(,)yx；曲线(,)0fxy关于直线yx的对称曲线的方程为(,)fyx0；点(,)xy关于直线yx的对称点为(,)yx；曲线(,)0fxy关于直线yx的对称曲线的方程为(,)0fyx；-5-/16⑥曲线(,)0fxy关于点(,)ab的对称曲线的方程为(2,2)0faxby；⑦形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线，其两渐近线分别直线dxc(由分母为零确定)和直线ayc(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(,)dacc；⑧|()|fx的图象先保留()fx原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；(||)fx的图象先保留()fx在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到.5.常见的图象变换①函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向左平移a个单位得到的.②函数axfy()0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向右平移a个单位得到的.③函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；④函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向下平移a个单位得到的；⑤函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴伸缩为原来的a1得到的.⑥函数xafy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.⑦|()|fx的图象先保留()fx原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；(||)fx的图象先保留()fx在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到.特殊函数图象:(1)函数(0,)axbcxdycadbc:可由反比例函数(0)kykx图象平移、伸缩得到.图1示例.①图象是双曲线,两渐近线分别直线dcx(由分母为零确定)和直线acy(由分子、分母中x的系数确定)；②对称中心是点(,)dacc.(2)函数(0,0)byaxabx：如图2.①图象类似“对号”，俗称对号函数.定义域}0|{xx；②函数的值域为),2[]2,(abab；③函数为奇函数，图象关于原点对称；④增区间为(,],[,)bbaa,减区间为,,[,0),(0]bbaa.6.函数的零点（1）一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，这xyo图2dxcaycxyo图1-6-/16个c也就是方程f(x)＝0的根．我们称方程f(x)＝0的实数根x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．（2）函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．（3）函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．一般地，对于不能使用公式求根的方程f(x)＝0，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的图象、性质来求解．【方法技巧提炼】1.研究函数的性质要特别注意定义域优先原则（1）具有奇偶性的函数定义域的特征：定义域关于原点对称.为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.（3）讨论函数的周期性，一般情况下定义域是无限集.所以判断函数是否为周期函数，要在整个定义域上观察函数的图象.如求函数sinyx的周期,如果只观察y轴一侧的图象得到周期为2那就错了，因为函数图象关于y轴对称，从整体看它不是周期函数.2.函数的单调性（1）定义法和导数法的选择在解答题中，只能应用定义法或导数法证明函数的单调性.定义法作为基本方法，但是证明过程有时比较繁琐；而导数法显得操作性比较强，对函数求导后判断导函数的正负即可.因此导数法是我们证明函数单调性的首选方法.（2）函数)0,0(baxbaxy单调性总结：①若0,0ba，单调区间：增区间,,bbaa,，减区间,00bbaa,，；②若0,0ba，单调区间：减区间),[],(abab和，增区间],0()0,[abab和;③若0,0ba，由于0)(2xbaxbax，单调性：增区间),0()0,(