n阶行列式的计算方法

n阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。例1计算二阶行列式4231=D。解：223414231−=×−×==D例2计算三阶行列式210834021−−=D。解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D14−=2．利用n阶行列式的定义n阶行列式==nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nnnppppppaaa⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21nppp⋯ττ=，求和式中共有!n项。显然有上三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnDλλλλλλ⋯⋱2121==另外nnnnDλλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000nDnn=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnnaaaan−−−=⋯.该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于(1)(2)2nn−−，故(1)(2)2(1)!.nnnDn−−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TDD=。注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号。推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121112112121112111。第i行(列)乘以k，记为kri×(或kci×)。推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21221111211+++=。则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin+=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。例4计算xaaaxaaaxDn⋯⋮⋮⋮⋯⋯=。解xaaaxaanxDnrrrn⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯111])1([)(21−+=+++axaxanx−−−+=⋯⋮⋮⋮⋯⋯0000111])1([1)]()1([−−−+=naxanx例5一个n阶行列式nijDa=的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn=−=⋯则称nD为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ijjiaa=−知iiiiaa=−，即0,1,2,,iiain==⋯故行列式nD可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa−=−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由行列式的性质TDD=1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa−−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa−=−−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)nnD=−当n为奇数时，得nnDD−=，因而得0=nD。4．利用行列式按行（列）展开=+++jninjijiAaAaAa⋯2211),,2,1,(0njijijiD⋯=⎩⎨⎧≠=例6计算1314211311023351−−−−−=D。解34012113110272016−−−−=D3411127216)1(23−−−−=[phone])(1(1071125020)1(22−=−−−=−−−=+5．利用化上三角形法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤：（1）观察元素11a，若不为1通过变换化为1；（这可以通过对调两行或两列实现，有时也可以把第一行或第一列乘111a来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加困难。）（2）对第一行分别乘13121,,,naaa−−−⋯加到第n⋯,3,2行对应元素上去；（目的：第一列11a以下的元素全部化为零）（3）用类似的方法把主对角线元素13121,,,naaa⋯以下的元素全部化为零。这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素),2,1(,niaii⋯=不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。例7计算1314211311023351−−−−−=D。解1192101110160551003351−−−−−=D11103200112033515−−−−=1120320011103351)5(−−−−−=1300320011103351)5(−−−−−−=211000320011103351)5(−−−−−=55−=6．利用递推公式递推公式法：对n阶行列式nD找出nD与1−nD或nD与21,−−nnDD之间的一种关系——称为递推公式（其中,nD21,−−nnDD等结构相同），再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法。例8证明1221100001000001nnnnxxDxaaaaax−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12121,(2)nnnnnxaxaxaxan−−−=+++++≥⋯证明：将nD按第1列展开得12321100001000001nnnnxxDxxaaaaax−−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11000100(1)001nnxax+−−+−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1nnaxD−=+由此得递推公式：1nnnDaxD−=+，利用此递推公式可得112()nnnnnnDaxDaxaxD−−−=+=++212nnnaaxxD−−=++111nnnnaaxaxx−−==++++⋯⋯7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式范德蒙行列式111121122122211211111−−−−−−−=nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯∏≤≤−=nijjixx1)(例9计算行列式1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx−−−−−−+++=++++++⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx≥≥−−−==−∏⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯8．利用加边法计算n阶行列式加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例10计算n阶行列式12121212nnnnnxaaaaxaaDaaaaaxa++=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：1100nnnaaDD=⋯⋮1211002,,1100100niaaaxinxx−=+−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第行减第1行（箭形行列式）1211000000000njnjaaaaxxxx=+=∑⋯⋯⋯⋯11njnjaxx=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑9．利用数学归纳法例11计算n阶行列式1221100001000001nnnnxxDxaaaaax−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：用数学归纳法.当n=2时212211()xDxxaaaxa−==+++212xaxa=++假设n=k时，有12121kkkkkkDxaxaxaxa−−−=+++++⋯则当n=k+1时，把1+kD按第一列展开，得11kkkDxDa++=+1111()kkkkkxxaxaxaa−−+=+++++⋯12111kkkkkxaxaxaxa+−+=+++++⋯由此，对任意的正整数n，有12121nnnnnnDxaxaxaxa−−−=+++++⋯10．利用拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例12计算行列式nD=11212212nnnnaaaaaaaaaλλλ+++⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯解：nD=1212212nnnnaaaaaaaaaλλ++⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯1222000nnnnaaaaaλλλ+++⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯122000nnnaaaaλλ=⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯11nDλ−+1211nnaDλλλ−=+⋯……1211niniiaλλλλ=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑⋯上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，由此及彼，举一反三，才能更好地掌握行列式的计算。