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第二课时组合的应用第一章计数原理学习导航新知初探思维启动解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“________(排除法)”．其中用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先安排__________的选取,再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．间接法特殊元素做一做1.从甲、乙、丙、丁四位同学中选两人参加一项活动,甲、乙两人有一人参加有________种选法．答案:42．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型和乙型电视机各1台,则不同的取法共有________种．答案:70典题例证技法归纳例1题型探究题型一有限制条件的组合问题课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生;(2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选．【解】(1)一名女生,四名男生,故共有C15·C48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有C22·C311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类:有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．或采用间接法:C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类:有两名女生,只有一名女生,没有女生．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．【名师点评】有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数;二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏．例2α、β是两个平行平面,在α内取四个点,在β内取五个点．(1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？题型二几何问题中的组合问题【解】(1)在9个点中,除了α内的四点共面和β内的五点共面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所确定的平面和直线才能达到最多,此时,最多能确定直线C29＝36(条),又因为三个不共线的点确定一个平面,故最多可确定C24C15＋C14C25＋2＝72(个)平面．(2)同理,在9个点中,除了α内的四点共面和β内的五点共面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所作三棱锥才能达到最多．此时最多能作C34C15＋C24C25＋C14C35＝120(个)三棱锥．【名师点评】解与几何有关的问题,基本思路有两种,一是考虑用特殊元素去分类,用直接法求解;二是间接法,在所有的取法中,去掉不符合题意的取法(如共线三点不能构成三角形),这两种方法,都应熟练掌握．跟踪训练1．已知∠AOB的边OA上有5个点,边OB上有6个点,用这些点和O点为顶点,能构成多少个不同的三角形？解:法一:以O为三角形顶点,其余两顶点分别在OA和OB上取,能构成C15C16＝30(个)三角形;O不为顶点,又可分为两类,即在OA上取两点,OB上取一点,或在OA上取一点,OB上取两点,则能构成C25C16＋C15C26＝10×6＋5×15＝135(个)三角形．因此构成不同的三角形共有30＋135＝165(个)．法二:从12个点中任取3个点的取法有C312种,其中,不能构成三角形的三点有两类,OA上6个点中任取三点,或OB上7个点中任取三点,分别有C36和C37种,因此,能构成不同的三角形共有C312－C36－C37＝220－20－35＝165(个)．例3从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？题型三排列与组合的综合运用【解】(1)分步完成:第一步,在4个偶数中取3个,可有C34种情况;第二步,在5个奇数中取4个,可有C45种情况;第三步,3个偶数,4个奇数进行排列,可有A77种情况,所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100800(个)．(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有C34·C45·A55·A33＝14400(个)．【名师点评】(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．跟踪训练2．有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种不同的分法？(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本;(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本．解:(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本,这件事分三步完成．第一步:从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C49种方法;第二步:从余下的5本书中,任取3本分给乙,有C35种方法;第三步:把剩下的2本书给丙,有C22种方法．根据分步计数原理知,共有不同的分法C49·C35·C22＝1260(种)．所以甲得4本,乙得3本,丙得2本的分法共有1260种．(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本,这件事分两步完成．第一步:按4本、3本、2本分成三组,有C49C35C22种方法;第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A33种方法．根据分步计数原理知,共有不同的分法C49C35C22A33＝7560(种)．所以一人得4本,一人得3本,一人得2本的分法共有7560种．处理排列、组合综合题时,应遵循三大原则,掌握基本类型,突出转化思想．三大原则是:先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则．明确以下三点:(1)整体分类．对事件进行整体分类,从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,以保证分类的不遗漏,任意两类的交集等于空集,以保证分类的不重复,计算结果是使用分类加法计数原理;方法感悟(2)局部分步．整体分类以后,对每一类进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证分步的不遗漏,同时步骤要独立,以保证分步的不重复,计算每一类的相应结果时,使用分步乘法计数原理;(3)考查顺序、无序的问题,用组合解答;有序的问题属排列问题．精彩推荐典例展示排列与组合的应用题的规范解答(本题满分12分)从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？规范解答例4【解】(1)五位数中不含数字0.第1步,选出5个数字,共有C35C24种选法.1分第2步,排成偶数——先排末位数,有A12种排法,再排其他四位数字,有A44种排法.3分∴N1＝C35·C24·A12·A44.4分(2)五位数中含有数字0.第1步,选出5个数字,共有C35·C14种选法.5分第2步,排顺序又可分为两小类:①末位排0,有A11·A44种排列方法;6分②末位不排0.这时末位数有C11种选法,而因为零不能排在首位,所以首位有A13种排法,其余3个数字则有A33种排法．∴N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33).8分∴符合条件的偶数个数为N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4560.12分抓关键促规范讨论五位数中含“0”与否,是解答本题的关键．末位排0与否,应分类讨论,否则极易出错．本题是分类情况下的分步排列、组合问题,必须将所讨论的各种结果相加,否则丢分．跟踪训练3.有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内．(1)恰有1个空盒,有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球,有几种放法？解:(1)先从4个小球中取2个放在一起,有C24种不同的取法,再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆,并分别放入4个盒子中的3个盒子里,有A34种放法,根据分步乘法计数原理,共有C24A34＝144(种)不同的放法．制作不易尽请参考(2)恰有2个盒子不放球,也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中．有两类放法:第一类,1个盒子放3个小球,1个盒子放1个小球,先把小球分组,有C34种,再放到2个盒子中有A24种放法,共有C34A24种放法;第二类,2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．故恰有2个盒子不放球的方法有C34A24＋C24C24＝84(种)．