二重积分的变量变换

§4二重积分的变量交换教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换，（广义）极坐标变换）教学内容：1.二重积分的变量替换公式2.二重积分的一般变量变换3.二重积分的极坐标变换教学难点：变量变换后积分限的确定一、二重积分的变量交换公式1.引理：.),()],(),,([),(;0),(),(),()2(),(),,()1(),(),,(:),(13.21dudvvuJvuyvuxfdxdyyxfvuyxvuJvuyvuxDxoyuovvuyyvuxxTDxoyyxfD则有上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在，且满足平面上的闭区域地映成一一曲线所围成的闭区域平面上由按段光滑封闭将上可积，变换平面上的有界闭区域在设定理2.二重积分的变量替换公式：x,y的范围u,v的范围要加绝对值3.利用一般变量替换求二重积分步骤：⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;),(),,(vuyyvuxx习惯上：设),(),(),()2(vuyxvuJ求出有两种办法求若是设Jyxvvyxuu),,(),,(Jvuyyvuxxi，再求先求出),(),,()(),(),(1,),(),()(yxvuJyxvuii＝再求先求出(3)在变换下确定u,v的范围△;的边界曲线的边界曲线中，求出把变换代入D作图(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;(5)用§2求二重积分的方法求出其值。题型一：引入变量替换后，化为累次积分例1：P242习题3（2）.cossin4)sin,cos(3344vdudvvuvuvuf原式20,0:vau例2Dxyo1yxuvovuvu1v题型二：作适当的变量替换，计算二重积分11例3Oxy二、用极坐标计算二重积分1.变换sin,cos:ryrxT变换20,0rxOPr轴正向的夹角与为为极径，其中.OxyP(x,y)rrrJ),(此时2.适用范围(1)D为圆域或圆域的一部分；形式。被积函数含22)2(yxiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr.)sin,cos(),(DDdrdrrrfdxdyyxfiAoDirriirrriii3.变换公式————二重积分化为二次积分的公式.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(区域特征如图,).()(21rADo)(1r)(2r①二重积分化为二次积分的公式（１）3.D'的确定把极坐标代入边界得出D'的边界.)sin,cos()(0rdrrrfd②二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(r常见区域D'的确定)(2:)1(22如图RxyxDxOy2RRcos22Rrrcos20,22:RrD)(2:)2(22如图RyyxDsin22Rrrsin20,0:RrDOxy2RRDrdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd③二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图).(0rDoA)(r,20常见区域D'的确定)(:)3(222如图RyxDxyORR22RrRrD0,20:题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分例4：P242习题1（2）xO1sin0,20:rD2arcsin,10:rrDy例5写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx练习：P242习题1（1）例6例7cos0,20:RrD例8计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.例9求广义积分02dxex.S1D2D)1(222aDyxedxdyedxdyeDyx122dxdyeSyx22dxdyeDyx22220)(2dxeax)1(4122ae)1(412ae2