n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法

　[收稿日期]２０１７Ｇ０１Ｇ１１;　[修改日期]２０１７Ｇ０３Ｇ０２　[基金项目]安徽省重大教学改革项目(２０１５zdjy０２０);高等学校大学数学教学研究与发展中心项目(２０１５);唐烁名师工作室　[作者简介]宁荣健(１９６２－),男,副教授,从事计算数学研究和大学数学教学．Email:[e-mail]　[通讯作者]时军(１９８２－),女,讲师,从事计算数学研究．Email:[e-mail]第３３卷第５期大　学　数　学Vol．３３,№．５２０１７年１０月COLLEGEMATHEMATICSOct．２０１７n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法宁荣健,　时　军(合肥工业大学数学学院,合肥２３０００９)　　[摘　要]通过引入n个积分因子,给出了n阶常系数线性微分方程y(n)＋p１y(n－１)＋p２y(n－２)＋􀆺＋pn－１y′＋pny＝f(x)的积分因子解法,并进而得到n阶欧拉方程xny(n)＋p１xn－１y(n－１)＋􀆺＋pn－１xy′＋pny＝f(x)的积分因子解法．该方法对任意的可积函数f(x),均可给出其通解形式,具有一定的理论研究价值和实际应用价值．[关键词]n阶常系数线性微分方程;n阶欧拉方程;积分因子;通解[中图分类号]O１３;O１７２．２　　[文献标识码]C　　[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１７)０５Ｇ００４４Ｇ０５１　问题的提出目前在高等数学教材中,介绍了二阶常系数线性微分方程y″＋py′＋qy＝f(x)当f(x)＝eλxPm(x)和f(x)＝eλx(Pl(x)cosωx＋Pn(x)sinωx)时的通解．对于f(x)的其它类型,以及n阶常系数线性微分方程y(n)＋p１y(n－１)＋p２y(n－２)＋􀆺＋pn－１y′＋pny＝f(x)的解法,并没有作进一步介绍．文[１]给出了n阶常系数线性微分方程的降阶解法．本文将通过寻求积分因子,给出n阶常系数线性微分方程的通解．降阶解法和积分因子解法都是通过n阶常系数线性微分方程的特征方程的根与系数关系实现的,殊途同归,均丰富了求解常系数线性微分方程的理论和方法．值得一提的是,利用积分因子解法还可以方便地得到n阶欧拉方程的通解．２　主要结论在文[２]中,讨论了对于二阶线性微分方程y″＋P１(x)y′＋P２(x)y＝Q(x),(１)如果能存在非零二阶可微函数f１(x),f２(x),同乘(１)式两边后,将(１)转化为(f２(x)(f１(x)y)′)′＝f１(x)f２(x)Q(x),就分别称f１(x),f２(x)为(１)的第一积分因子和第二积分因子,此时(１)的通解为y＝１f１(x)(∫１f２(x)(f１(x)f２(x)Q(x)dx＋C１)dx＋C２)．其中关于f１(x),f２(x)的存在性,以及存在时f１(x),f２(x)的求法参见文[１]．这里将积分因子法应用到求解n阶常系数线性微分方程上来,可得n阶常系数线性微分方程的积分因子解法．定理１　设有n阶常系数线性微分方程y(n)＋p１y(n－１)＋p２y(n－２)＋􀆺＋pn－１y′＋pny＝f(x),(２)其中f(x)为可积函数,p１,p２,􀆺,pn－１,pn为常数．若r１,r２,􀆺,rn为对应齐次线性微分方程y(n)＋p１y(n－１)＋p２y(n－２)＋􀆺＋pn－１y′＋pny＝０(３)的特征根,则微分方程(２)的通解为y＝eλnx(∫e(λn－１－λn)x(􀆺(∫e(λ１－λ２)x(∫e－λ１xf(x)dx＋C１)dx＋C２)􀆺)dx＋Cn),其中C１,C２,􀆺,Cn为任意常数．证　记q１＝λ１＋p１,q２＝λ２１＋p１λ１＋p２,􀆺􀆺qk＝λk１＋p１λk－１１＋p２λk－２１＋􀆺＋pk－１λ１＋pk,􀆺􀆺qn－１＝λn－１１＋p１λn－２１＋a２λn－３１＋􀆺＋pn－２λ１＋pn－１,ìîíïïïïïïïï则有　q１－λ１＝p１,q２－λ１q１＝p２,q３－λ１q２＝p３,􀆺􀆺qn－１－λ１qn－２＝pn－１,－λ１qn－１＝pn．ìîíïïïïïïïï进而得　e－λ１x(y(n)＋p１y(n－１)＋p２y(n－２)＋􀆺＋pn－１y′＋pny)　　　＝(e－λ１x(y(n－１)＋q１y(n－２)＋q２y(n－３)＋􀆺＋qn－２y′＋qn－１y))′,和　　　　　　　　λn＋p１λn－１＋p２λn－２＋􀆺＋pn－１λ＋pn＝(λ－λ１)(λn－１＋q１λn－２＋q２λn－３＋􀆺＋qn－２λ＋qn－１)．同理　e－λ２x(y(n－１)＋q１y(n－２)＋q２y(n－３)＋􀆺＋qn－２y′＋qn－１y)　＝(e－λ２x(y(n－２)＋r１y(n－３)＋r２y(n－４)＋􀆺＋rn－３y′＋rn－２y))′,其中r１－λ２＝q１,r２－λ２r１＝q２,􀆺􀆺rn－２－λ２rn－３＝qn－２,－λ２rn－２＝qn－１,ìîíïïïïïïï　和　r１＝λ２＋q１,r２＝λ２２＋q１λ２＋q２,􀆺􀆺rk＝λk２＋q１λk－１２＋􀆺＋qk－１λ２＋qk,􀆺􀆺rn－２＝λn－２２＋q１λn－３２＋􀆺＋qn－３λ２＋qn－２,ìîíïïïïïïïï并且　λn－１＋q１λn－２＋q２λn－３＋􀆺＋qn－２λ＋qn－１＝(λ－λ２)(λn－２＋r１λn－３＋r２λn－３＋􀆺＋rn－３λ＋rn－２)．由上可知　e－λ１x(y(n)＋p１y(n－１)＋p２y(n－２)＋􀆺＋pn－１y′＋pny)＝(e(λ２－λ１)x(e－λ２x(y(n－２)＋r１y(n－３)＋r２y(n－４)＋􀆺＋rn－３y′＋rn－２y))′)′．以此类推,有　e－λ１x(y(n)＋p１y(n－１)＋p２y(n－２)＋􀆺＋pn－１y′＋pny)＝(e(λ２－λ１)x(e(λ３－λ２)x(􀆺(e(λn－λn－１)x(e－λnxy)′)′􀆺)′)′)′．从而(e(λ２－λ１)x(e(λ３－λ２)x(􀆺(e(λn－λn－１)x(e－λnxy)′)′􀆺)′)′)′＝e－λ１xf(x),故微分方程(２)的通解为y＝eλnx(∫e(λn－１－λn)x(􀆺(∫e(λ１－λ２)x(∫e－λ１xf(x)dx＋C１)dx＋C２)􀆺)dx＋Cn),(４)其中C１,C２,􀆺,Cn为任意常数．５４第５期　　　　宁荣健,等:n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法在定理１中,分别称e－λnx,e(λn－λn－１)x,􀆺,e(λ３－λ２)x,e(λ２－λ１)x为微分方程(１)第一积分因子,第二积分因子,􀆺,第n积分因子．例１　求微分方程y″＋３y′＋２y＝sin(ex)的通解．解　对应齐次线性微分方程的特征方程为λ２＋３λ＋２＝０,解得λ１＝－２,λ２＝－１,由(４)可得所求通解为y＝e－x(∫e－x(∫e２xsin(ex)dx＋C１)dx＋C２)＝e－x(∫ex(－excos(ex)＋sin(ex)＋C１)dx＋C２)＝e－x(∫(cos(ex)＋exsin(ex)＋C１ex)dx＋C２)＝－e－２xsin(ex)－C１e－２x＋C２e－x,其中C１,C２为任意常数．例２　求微分方程y‴＋３y″＋３y′＋y＝１x－３x２＋６x３－６x４的通解．解　由于特征方程为λ３＋３λ２＋３λ＋１＝０,解得λ１＝λ２＝λ３＝－１,所以所求通解为y＝e－x(∫(∫(∫ex(１x－３x２＋６x３－６x４)dx＋C１)dx＋C２)＋C３)＝e－x(∫(∫((１x－２x２＋２x３)ex＋C１)dx＋C２)＋C３)＝e－x(∫((１x－１x２)ex＋C１x＋C２)＋C３)＝e－x(１xex＋１２C１x２＋C２x＋C３)＝１x＋１２C１x２e－x＋C２xe－x＋C３e－x,其中C１,C２,C３为任意常数．推论１　在定理１中,若令f(x)＝０,则对应齐次线性微分方程(３)的通解为y＝eλnx(∫e(λn－１－λn)x(􀆺(C１∫e(λ１－λ２)xdx＋C２)􀆺)dx＋Cn)．(５)当n＝２时,(５)为y＝eλ２x(C１∫e(λ１－λ２)xdx＋C２)．此结论与教材中二阶常系数齐次线性微分方程通解的三种形式完全一致．推论２　在定理１中,若令C１＝C２＝􀆺＝Cn＝０,则微分方程(２)的一个特解为y∗＝eλnx(∫e(λn－１－λn)x(􀆺(∫e(λ１－λ２)x(∫e－λ１xf(x)dx)dx)􀆺)dx)．(６)　　当n＝２时,(６)为y∗＝eλ２x∫e(λ１－λ２)x(∫e－λ１xf(x)dx)dx．(７)　　此结论比教材中二阶常系数非齐次线性微分方程当f(x)＝eλxPm(x)和f(x)＝eλx(Pm(x)cosωx＋Qn(x)sinωx)时的两种类型特解形式更具一般性．由推论１和推论２知,微分方程(２)的通解(４)为对应齐次线性微分方程(３)的通解(５)与微分方程(２)的一个特解(６)之和,这与线性微分方程解的结构完全吻合．例３　求微分方程y″－４y′＋４y＝e２xtanxsecx的一个特解．解　不难得到特征根为λ１＝λ２＝２．由(７)可得该方程的一个特解为y∗＝e２x∫(∫e－２x􀅰e２xtanxsecxdx)dx＝e２x∫(∫tanxsecxdx)dx＝e２x∫secxdx＝e２xln|secx＋tanx|．例４　分别求微分方程y‴＋y″＋y′＋y＝cosx和y‴＋y″＋y′＋y＝sinx的通解．解　由于它们对应的齐次线性微分方程均为y‴＋y″＋y′＋y＝０,其特征方程为λ３＋λ２＋λ＋１＝０,解得λ１＝－１,λ２＝i,λ３＝－i．故y‴＋y″＋y′＋y＝０的通解为y＝e－ix(∫e２ix(C１∫e－(１＋i)xdx＋C２)dx＋C３)＝１２C１e－x＋１２iC２eix＋C３e－ix．６４大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第３３卷利用欧拉公式,并考虑到C１,C２,C３为任意常数,可知上式等同于y＝C１e－x＋C２cosx＋C３sinx．此与根据[３]中第２９４页上n阶常系数齐次线性微分方程的通解构造理论所得结论完全一样．为计算方便,考虑微分方程y‴＋y″＋y′＋y＝cosx＋isinx,即y‴＋y″＋y′＋y＝eix．利用(６)知其一个特解为　e－ix(∫e２ix(∫e－(１＋i)x(∫ex􀅰eixdx)dx)dx)＝e－ix(∫e２ix(∫e－(１＋i)x(１１＋ie(１＋i)x)dx)dx)＝１１＋ie－ix∫xe２ixdx＝１１＋ie－ix(１２ix＋１４)e２ix＝１２i(１＋i)xeix＋１４(１＋i)eix．由于１４(１＋i)eix为y‴＋y″＋y′＋y＝０的解,故可取y‴＋y″＋y′＋y＝eix的一个特解为y∗＝１２i(１＋i)xeix＝－１４x(cosx－sinx)－１４ix(cosx＋sinx)．由线性微分方程的叠加原理,得y‴＋y″＋y′＋y＝cosx一个特解为y∗１＝－１４x(cosx－sinx),y‴＋y″＋y′＋y＝sinx一个特解为y∗２＝－１４x(cosx＋sinx),所以y‴＋y″＋y′＋y＝cosx的通解为y＝C１e－x＋C２cosx＋C３sinx－１４x(cosx－sinx),y‴＋y″＋y′＋y＝sinx的通解为y＝C１e－x＋C２cosx＋C３sinx－１４x(cosx＋sinx),其中C１,C２,C３为任意常数．将此积分因子的解法还可运用到求解欧拉方程上去．定理２　设有n阶欧拉方程xny(n)＋p１xn－１y(n－１)＋􀆺＋pn－１xy′＋pny＝f(x),(８)其中f(x)为可积函数,p１,p２,􀆺,pn为常数．若r１,r２,􀆺,rn为方程r(r－１)(r－２)􀆺(r－n＋１)＋p１r(r－１)􀆺(r－n＋２)＋􀆺＋pn－１r＋pn＝０(９)的根,则微分方程(８)的通解为y＝xrn(∫xrn－１－rn－１(􀆺(∫xr１－r２－１(∫x－r１－１f(x)dx＋C１)dx＋C２)􀆺)dx＋Cn),(１０)其中C１,C２,􀆺,Cn为任意常数．证　先将(８)改写为xndnydxn＋p１xn－