典型环节频率特性

5-2典型环节频率特性的绘制一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）以角频率ω为参变量，根据系统的幅频特性和相频特性在复平面上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率ω从0到无穷变化时，矢量的矢端在平面上描绘出的曲线。自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法（极坐标图和伯德图）。)(jG)(jG)(jGjejG)()(jG（一）放大环节（比例环节）KjG)(KsG)(放大环节的传递函数为其对应的频率特性是KjG)(0)(jG其幅频特性和相频特性分别为.00mIKeR放大环节的频率响应频率特性如图所示。放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。（二）积分环节积分环节的传递函数为其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为ssG1)(jjG1)(11)(jjG0900)(arctgjG积分环节的频率响应eRmI0G0901频率特性如图所示。由图可知，积分环节的相频特性等于-900，与角频率ω无关，表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于，是ω的函数，当ω由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。（三）惯性环节惯性环节的传递函数为频率特性幅频特性和相频特性分别是11)(TssG11)(jTjG2211)(TjGarctgTjG)(01)0(jG00)0(jGT1707.021)1(TjG045)1(TjG0)(jG090)(jG当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在平面上是正实轴下方的半个圆周)(jG222211111)(TTjTjTjG)(11)(Re22uTjG证明:)(1)(Im22vTTjG2222222222112111)(21)(TTTvu是一个标准圆方程，其圆心坐标是，半径为。且当ω由时，由，说明惯性环节的频率特性在平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。0,21210)(jG900)(jG惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为90゜。推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即其频率特性是圆心为，半径为的实轴下方半个圆周。1)(jTKjG0,2K2K惯性环节的频率响应045010.5T/1mIG0eR(四）振荡环节振荡环节的传递函数是频率特性幅频特性和相频特性分别为2212)(TTarctgjG121)(22TssTsGTjTTjTjG2)1(1121)(22222222224)1(1)(TTjG)1(12180)(22TTTarctgjG)10(12)(22TTTarctgjG当时，，当时，，当时，，振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。1)0(jG21)1(TjG000)0(jGT1090)1(TjG0)(jG()180Gj振荡环节为相位滞后环节，最大滞后相角是1800。)(jG当振荡环节传递函数的分子是常数K时，对应频率特性的起点为12)(22TssTKsG000)0(,)0(jGKjGnrM0nnr0mIr1eRG振荡环节的频率响应n)1(rrMMrr)(jGrM将代入得到谐振峰值为)210(121)(2rrjGM2021arcsin9021)(arctgjGrr将代入得到谐振相移φr为r)(jG041)(222222TTddjGdd)210(2121122nrT阻尼比较小时，会产生谐振谐振峰值和谐振频率，如何求？振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在的范围内，随着ω的增加，缓慢增大；当时，达到最大值；当时，输出幅值衰减很快。)(Mr)(MrMr当阻尼比时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的惯性环节的串联，即11111)(21sTsTsGT1，T2为一大一小两个不同的时间常数，小时间常数对应的负实极点离虚轴较远，对瞬态响应的影响较小。1)(M0rrM振荡环节的频率响应1r0（五）一阶微分环节典型一阶微分环节的传函数为其中τ为微分时间常数、1为比例项因子，严格说，上式表示的是一阶比例微分环节，由于实际的物理系统中理想微分环节（即不含比例项）是不存在的，故用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。1)(ssG1)(jjG幅频特性和相频特性分别为一阶微分环节的频率特性为1)(22jGarctgjG)(01)0(jG00)0(jG12)1(jG045)1(jG)(jG090)(jG频率特性如图所示。是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。1eR0mIG0G一阶微分环节的频率响应当时，，当时，，当时，（六）二阶微分环节频率特性幅频特性和相频特性分别为12)(22jjG22222241)(jG）１（2212)(arctgjG01)0(jG00)0(jG12)1(jG090)1(jG)(jG0180)(jG二阶微分环节频率特性图1)1(2mIeR00G二阶微分环节是相位超前环节，最大超前相角为180o。)1(12180)(22arctgjG11)(TssG11)(jTjG（七）不稳定环节传递函数为有一个正实极点，对应的频率特性是幅频特性和相频特性11)(22TjGarctgTTarctgjG01801)(01)0(jG0180)0(jGT121)1(TjG0135)1(TjG0)(jG090)(jG0ImRe0不稳定惯性环节的频率特性与惯性环节比较其对应的频率特性是jejG)(1)(jGsesG)(（八）滞后环节的传递函数滞后环节的传递函数为0mIj0eR11jG滞后环节频率特性图（度）弧度）＝3.57()(jG滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。幅频特性和相频特性分别为二、典型环节频率特性的伯德图伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性。两个坐标平面横轴（ω轴）用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，表示幅值的分贝数对数相频特性的纵轴也是线性分度，表示相角的度数)()(lg20)(dBjGL（度）)()(jG02040-40-20)(L0.010.1110100045o90o-90o-45o)(0.010.1110100dB两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。（4）横轴（ω轴）用对数分度，扩展了低频段，同时兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。用伯德图分析系统有如下优点：（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）的幅值和相角与频率之间的关系更清晰；)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)()()()()()()()()(212121jGjGjGjGLjGjGjGjGjGjGjGjGnnn（2）幅值用分贝数表示，将串联环节的幅值相乘变为相加，简化计算；（3）用渐近线表示幅频特性，使作图简单方便；放大环节的频率特性为其幅频特性是对数幅频特性为)0()(KKjGKjG)(KjGlg20)(lg20K1，20lgK0，位于横轴上方；K=1，20lgK=0，与横轴重合；K1，20lgK0，位于横轴下方。（一）放大环节（比例环节）放大环节的对数幅频特性如图，是一条与角频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。当有n个放大环节串联时，即幅值的总分贝数为10101020Klog20dB)(L1010010001001000000900900180度）（10放大环节的Bode图nKKKjG...)(21nKKKjGlg20...lg20lg20)(lg2021放大环节的相频特性是如图所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。00)(jG（二）积分环节积分环节的频率特性是其幅频特性为对数幅频特性是jjG1)(1)(jGlg201lg20)(lg20jG1.0)(201.0lg20)1.0(lg20dBjG1)(01lg20)1(lg20dBjG10)(2010lg20)10(lg20dBjG设，则有可见，其对数幅频特性是一条在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（ω轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec）变化的直线。10'lg202010lg20lg20'01.01.0110000900900180度）（积分环节的Bode图604002020dB)(L01.01.01decdB/2010是一条与ω无关，值为-900且平行于ω轴的直线。积分环节的对数幅频特性和相频特性如图所示。090)(jG积分环节的相频特性是n个积分环节串联时，即对数幅频特性njjG)(1)(lg201lg20)(lg20njGn两个积分环节串联的Bode图090001.010180090度）（01.0040decdB/40dB)(L01.01.0110是斜率为-n×20dB/dec，在ω=1处过零分贝线（ω轴）的直线。090)(njG是一条与ω无关，值为-n×900且与ω轴平行的直线。相频特性当时，当时，用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，22221lg2011lg20)(lg20TTjGT1T1)(01lg20)(lg2022dBTjG)(lg201lg20)(lg2022dBTTjGT1T1两条直线在处相交，称为转折频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。（三）惯性环节惯性环节的频率特性是其对数幅频特性是11)(jTjG)(32lg201lg20122dBTT显然，距离转折频率愈远，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。等于转折频率时，误差最大，最大误差为T1)11(TT或T1渐近特性decdB/20精确特性惯性环节的Bode图)()(Ldb1001020T1201T1101T151T1T12T110T12000045090时的误差是时的误差是误差曲线对称于转折频率T121)(97.025lg