最值定理王志刚2012.12.23一.复习引入注意:区间端点处指的是左连续或右连续。定义1:设函数为定义在区间的函数。若对任意,在处连续(即),则称为区间上的连续函数。fIIx0)()(lim00xfxfxxfIf0x一.复习引入)(xfy例如:闭区间上的连续函数。],[baxyoab)(af)(bfABxyoab)(af)(bfBA二.最值定理定理:若为闭区间上的连续函数,则在上有最大值和最小值。f],[baf],[ba证明思路:1.若在上连续,则在上有界。2.上确界为最大值,下确界为最小值。f],[baf],[ba二.最值定理1.若在上连续,则在上有界。f],[baf],[ba1aab1b2a2b3b3a······证明:(反证法)设在上无上界。f],[ba由于在处连续,故存在,在上有界,而当足够大,存在闭区间套:],[nnba且对任意,在上无上界。nf],[nnba由区间套定理可知:.,2,1],,[nbannf0),(Ufn),(],[Ubann矛盾,故题设成立。二.最值定理2.上确界为最大值,下确界为最小值。记,设,有。)(sup],[xfMbax],[baxMxf)(做辅助函数:,它为上的连续函数,由第一步可知:为上的有界函数。故存在,对,有)(1)(xfMxg],[bag],[ba0G],[bax,1)()(1)(GMxfGxfMxg故也为的上界,与为上确界矛盾。GM1fM因此,。故题设成立。Mxfbax)(],,[00证明:二.最值定理最值定理中的闭区间和连续函数缺一不可。1.开区间上的连续函数。)1,0(,1)(xxxf例如:xyo112.开区间上的连续函数满足什么条件一定有界?二.最值定理xyoab若在上连续,和存在,则一定有界。f),(ba)0(af)0(bff若在上连续,和存在,且和既不是上界,也不是下界,则一定有最值。f),(ba)0(af)0(bf)0(bf)0(aff3.闭区间上的非连续函数。二.最值定理]1,0(100)0,1[,1)(xxxxxxfx1111yo三.小结1.闭区间上的连续函数,不仅有界,而且能达到最大值和最小值;2.最值定理中的闭区间和连续函数的两个条件缺一不可。四.课后思考如何求闭区间上的连续函数的最大值和最小值?