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无套利分析方法第一节无套利定价原理一.什么是套利以及几个例子？商业贸易中的”套利”行为？例如1：一个贸易公司在与生产商甲签订一笔买进10吨铜合同的同时，与需求商乙签订一笔卖出10吨铜合同：即贸易公司与生产商甲约定以55,000元/吨的价格从甲那里买进10吨铜，同时与需求商乙约定把这买进的10吨铜以57,000元/吨的价格卖给乙，并且交货时间相同。这样，1吨铜赚取差价2,000元/吨。无风险套利的定义在金融理论中，套利指一个能产生无风险盈利的交易策略。这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生很低风险的盈利策略，即可能会承担一定的低风险。套利活动是对冲原则的具体运用，如果现有两项头寸A与B其价格相等，预计不管发生什么情况，A头寸的现金流SA大于B头寸的现金流SB，现可构筑零投资组合，卖空头寸B股将其收入买进头寸A股（由于A与B现时价格相等）得零投资组合的现金流净现金为（SA-SB）大于零。套利行为所产生的供需不均衡将推动头寸B的现金流SB趋于SA。所以，在市场均衡无套利机会时的价格，就是无套利分析的定价技术。无套利定价法如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。无套利的价格是什么？无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。表1-2货币市场外汇市场美元利率20%即期1美元=2马克马克利率10%一年远期1美元=2马克无套利分析法：我们以远期外汇市场为例。假定外汇市场和货币市场的行情如下表所示。在上表所示的行情假定上，市场上势必发生套利行为。套利者会借入马克，换成美元，同时，作远期交易，对马克卖出美元。套利者借入2马克，利率为10%，到期须偿还2.2马克的本息。在即期市场上，套利者用2马克换成1美元，以20%的美元年利率，将美元存放一年、到期可获取1.2美元的本息。套利者在即期买入1美元的同时，远期卖出1.2美元。到期时，套利者将1.2美元的本息按远期汇率换成2.4马克，偿还2.2马克的马克本息后，获利0.2马克。这种套利活动的进行，势必会使马克的利率上升，美元的利率下降，美元即期汇率上升，美元远期汇率下跌。无套利分析法举例以远期外汇市场为例。假定外汇市场和货币市场的行情如下所示：货币市场外汇市场美元利率4.27%即期EUR1=$1.23欧元利率2.21%一年远期EUR1=$1.23套利过程：借入200欧元，利率2.21%，到期偿还204.42欧元本息；用200欧元换成246美元，以4.27%的年利存放一年，到期获取256.5美元，按远期汇率换成208.54欧元，偿还204.42欧元本息后，获利4.12欧元。二.无套利定价原理金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速。这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中。因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是“无风险套利定价”原理或者简称为“无套利定价”原理。什么情况下市场不存在套利机会呢？我们先看一下无风险套利机会存在的等价条件：无风险套利机会存在的等价条件（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；在这里，可以简单把损益理解成是现金流。如果现金流是确定的，则相同的损益指相同的现金流。如果现金流是不确定的，即未来存在多种可能性（或者说存在多种状态），则相同的损益指在相同状态下现金流是一样的。（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的损益。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。上述无套利机会的存在等价性条件（1）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。（2）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的“复制组合”（replicatingportfolio）。（3）动态组合复制定价：如果一个自融资（self-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（dynamichedgingstrategy）。所谓自融资交易策略简单地说，就是交易策略所产生的资产组合的价值变化完全是由于交易的盈亏引起的，而不是另外增加现金投入或现金取出。三.确定状态下无套利定价原理的应用1、同损益同价格（例子2）假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？2、静态组合复制定价（例子3）假设3种零息票的债券面值都为100元，它们的当前市场价格分别为：①1年后到期的零息票债券的当前价格为98元；②2年后到期的零息票债券的当前价格为96元；③3年后到期的零息票债券的当前价格为93元；并假设不考虑交易成本和违约。问题：（1）如果息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格应该为多少？（2）如果息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格为120元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？对于第一个问题，我们只要按照无套利定价原理的推论（2），去构造一个“复制组合”就可以了。先看一个息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券的损益情况。面值为100元，息票率为10％，所以在第1年末、第2年末和第3年末的利息为100×10％＝10元，在第3年末另外还支付本金面值100元。如图所示：1年末2年末3年末1010110构造相同损益的复制组合为：（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×0.1＝10元；（2）购买0.1张的2年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×0.1＝10元；（3）购买1.1张的3年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×1.1＝110元；所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样，因此根据无套利定价原理的推论（2），具有相同损益情况下证券的价格就是复制组合的价格，所以息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券的当前价格应该为：0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.7对于第二个问题，其原理与例子2类似，债券A的当前价格为120元，小于应该价格121.7元，因此根据无套利定价原理，存在套利机会。当前市场价格为120元，而无套利定价的价格为121.7元，所以市场低估了这个债券的价值，则应该买进这个债券，然后卖空无套利定价原理中的复制组合。即基本的套利策略为：（1）买进1张息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券A；（2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券；（3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券；（4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券；3、动态组合复制定价（例子4）假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元。从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元。并且假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？（2）如果现在开始2年后到期的零息票债券价格为97元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？与例子3不同的是，在这个例子中我们不能简单地在当前时刻就构造好一个复制组合，而必须进行动态地交易来构造复制组合。我们要运用无套利定价原理的第三个推论。现在看一下如何进行动态地构造套利组合呢？(1)从现在开始1年后到期的债券Z0×1第1年末损益:100价格:98(2)1年后开始2年后到期的债券Z1×2第2年末损益:100价格:98(3)从现在开始2年后到期的债券Z0×2第2年末损益:100价格:？按照无套利定价原理的第三个推论，自融资交易策略的损益等同于一个证券的损益时，这个证券的价格就等于自融资交易策略的成本。这个自融资交易策略就是：（1）先在当前购买0.98份的债券Z0×1；（2）在第1年末0.98份债券Z0×1到期，获得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用获得的98元去购买1份债券Z1×2；这个自融资交易策略的成本为：98×0.98＝96.04交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)购买0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98(2)在第1年末购买1份Z1×2-98100合计：-96.040100存在交易成本时的无套利定价原理当存在这些交易成本时，上面的无套利定价原理的几个推论就可能不再适用了。因为存在交易成本，那么所构造的套利策略也就不一定能盈利。因为，通过套利策略获得的盈利可能还不够支付交易成本。所以，无套利定价原理这时候就不能给出金融产品的确切价格，但可以给出一个产品的价格区间，或者说价格的上限和下限。例子5假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，并且出售债券也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？按照无套利定价原理，在没有交易成本时，B的合理价格为98元。不管大于或小于98元，都存在套利机会。如果卖空和出售债券需要费用，那么是否价格不等于98元，就存在套利呢？比如，债券B的当前价格为97.5元，按照前面的套利思路为：（1）卖空债券A，获得98-1=97元（由于卖空A需要1元的费用）；（2）虽然债券B只有97.5元，但是97元还不够用于买进债券B；因此，在卖空和出售债券需要1元费用情况下，债券B的合理价格区间为：[97，99]。当债券B低于下限97元时，可以通过卖空债券A，买进债券B赢利；当债券B高于上限99元时，可以通过卖空债券B，买进债券A赢利。因为债券B的当前价格是97.5元，落在此区间内，将无法使用套利策略获得盈利。虽然如果债券B的价格落在[97，99]内，它们将无法获得套利机会，但是实际上，当债券B的价格小于债券A的价格，投资者会倾向于购买债券B；反之则购买债券A。因此，事实上，债券B会接近于债券A的价格。案例6假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用，买入1份债券需要0.5元费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？因此，债券B的市场价格区间为：[96.5，99.5]，在此区间范围内不存在赢利的套利策略。当债券B的当前价格只有97.5元，不存在套利机会。但是实际上，当债券B的价格小于债券A的价格，投资者会倾向于购买债券B；反之则购买债券A。因此，事实上，债券B会接近于债券A的价格。对于存在交易成本的无套