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20.2矩形的判定复习回顾四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形四边形集合平行四边形集合矩形集合定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。边对角线角ABCDO矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且平分；直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．•四边形ABCD是矩形1若已知AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝㎝OB=㎝2若已知∠CAB=40°，则∠OCB=∠OBA=∠AOB=∠AOD=3若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝㎝矩形的面积＝㎝24若已知∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=㎝ODCBA550°10100°40°12482880°试一试试一试DCBA┓已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠，BD是斜边AC上的中线1若BD=3㎝则AC＝㎝2若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝㎝，BD＝㎝，∠BDC＝6510120°矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.你还有其它的判定方法吗？ABCD∠A=900四边形ABCD是矩形情境一：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形ABCD，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.ABCD证明:∵AB=CD,BC=BC,AC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）∵AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=∠DCB=90°又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB对角线相等的平行四边形是矩形.矩形的判定方法：几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）例3：已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证：四边形EFGH是矩形．证明∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD（矩形的对角相等），AO＝BO＝CO＝DO（矩形的对角线互相平分）.∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．∵EO＋OG＝FO＋OH，即EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．情境一：李芳同学有“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？提示：用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”去证矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形.ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言：你能归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）有三个角是直角的四边形是矩形.方法1：方法2：方法3：P110练习1．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论．（第1题）证明：∵AO=BO,CO=DO（圆的相等半径）∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵AB=CD(圆的直径相等）∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）（第2题）2．如图，ABCD中，∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？解：∵∴AO=CO,BO=DO（平行四边形对角线互相平分）∵∠1=∠2∴AO=BO（等角对等边）∴AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）ABCD下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；XXXX例4：如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．∴∠BGC=90°同理可证∠AFB=∠AED=90°∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)证明：∵AB∥CD∴∠ABC＋∠BCD=180°∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）有三个角是直角的四边形是矩形.方法1：方法2：方法3：1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A对角线相等B对角线垂直C对角线互相平分且相等D对角线垂直且相等2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是cm3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A菱形B平行四边形C矩形D不能确定EFMNPQACDBC5CP110习题20．21．ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10.求证四边形ABCD是矩形.（第1题）证明：∵AB=6,BC=8,AC=10且62+82=102∴AB2+BC2=AC2∴∠B=900（勾股定理逆定理）∵ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)2.如图，△ABC中，AB=AC,AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证：AB=DE.（第2题）证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC∴AD⊥BC,∠1=∠BAC/2(等腰三角形三线合一）∵AE平分∠BAF∴∠2=∠BAF/2∵∠BAC+∠BAF=1800∴∠1+∠2=(∠BAC+∠BAF)/2=900∵BE⊥AE∴∠BDA=∠DAE=∠BEA=900∴四边形BDAE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）12F3．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．（第3题）提示：过点P分别作PE⊥AC,PF⊥BD,分别交AC,BD于点E,F.设AC与BD相交于O,连结PO,利用⊿PAO与⊿PDO的面积之和是矩形面积的四分之一，求得结果为120/17.