本科毕业论文--泊松分布在排队论中的应用讲解

本科毕业论文（设计）(2013届)泊松分布在排队论中的应用院系数学系专业统计学姓名孙中美指导教师赵玉华职称讲师等级学号：0907431050I泊松分布在排队论中的应用摘要日常生活中存在着大量有形和无形的排队和拥挤现象，小到如旅客购票排队，市内电话占线银行服务系统，高速公路收费系统，大到国防武器作战效能．排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响今后的发展.已有的理论知识对日常生活中涉及排队论知识的实际问题建立了经典的模型，在这个基础上，对采集的数据进行相关的的分析，将分析的结果和分析得出的数据回带到模型中，进行数学推演，得出数量指标的统计规律，然后根据这些指标为涉及排队论服务系统的改进提供有价值的参考.本文先从排队论的相关基本知识入手，简单介绍排队论的内容，排队论的模型和模型需要用到的指标，从而引出对泊松分布的介绍，最后再运用泊松分布的相关知识对实际周边生活的排队服务系统进行拟合计算其指标．从而得出模型最后的结论．关键词：泊松分布排队论排队模型模型结论合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）IIABSTRACTTherearealotoftangibleandintangiblequeuingandcongestionphenomenainourdailylife,suchaspassengerticketqueue,localtelephoneonline,bankingservicesystem,thehighwaytollsystem.Fromalargeperspective,itinvolveswiththeDefenseWeaponCombateffectiveness.Theemergenceanddevelopmentofqueuingtheorycomefromtheactualdemandthatwillalsoaffectthefuturedevelopment.Theexistingtheoreticalknowledgeishelpfultoestablishtypicalmodelsinvolvedwithqueuingtheoryindailylife.Basedonthat,wecanmakeanalysisofthecollecteddata,theresultoftheanalysiscanbetakenintothemodel.Throughmathematicaldeduction,thestatisticalregularityofthequantityindexcanbeproduced.Withthoseindexes,somevaluablereferencefortheimprovementrelatedtotheQueuingservicesystem.Thispaperstartswiththebasicknowledgerelatedtothequeuingtheory,thenmakesabriefintroductionofqueuingtheory,queuingmodelandtherequiredindex,thusleadstoaintroductionofthePoissondistribution.Finally,therelatedknowledgeofPoissonqueueservicesystemisappliedtoengageafittingcalculationoftheindicatorsonthepracticallife.Andthemodelconclusioncanbeobtained.Keywords:Poissondistributionqueuingtheoryqueuingmodelthemodelconclusion.合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）III目录摘要..............................................................................................................IABSTRACT.....................................................................................................II1引言...............................................................................................................42排队论的基本理论....................................................................................42.1排队论简介.................................................................................................42.2判断服务系统优劣的指标.........................................................................53排队论模型中的相关分布...........................................................................63.1时间间隔的分布.........................................................................................63.2服务时间的分布.........................................................................................74具体模型.......................................................................................................74.1模型一：M/M/1//（顾客源无限，系统容量不限）................74.2模型二：M/M/1/N/(系统容量有限)..........................................95具体实例分析.............................................................................................106小结.............................................................................................................14合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）41引言泊松分布（poissondistribution)是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（siméon-Denispoisson）于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显．在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念．泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究．但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置．泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题．排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论．通过对服务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标（等待时间，排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优．本文将要介绍的现实中的排队服务问题，此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例．2排队论的基本理论由于排队可以归属为一种随机现象，因此在研究有关排队现象的时候，主要采取概率论的相关知识作为其主要的工具．泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题中的应用非常广泛．我们把排队论所要研究的对象（要求服务的人或事物）称为顾客，把为顾客服务的人或事物称作服务机构，将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系统．由于顾客的到达时间和接受服务的时间到服务结束的时间一般说来都是随机的．所以我们又称服务系统为随机服务系统1．2.1排队论简介各种随机服务系统一般由三个部分组成，排队的一般过程就是顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务员或服务台）等待服务，接受服务，完成服务后离开的过程2．一般可以下三个构成部分：（1）输入系统；各类型的顾客以怎样的规律到达服务系统，主要是顾客到达时间的间隔分布；（2）排队规则；顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务，即如果全部的服务台都有顾客正在接受合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）5服务，则离开（损失制），或者是排队等待服务（等待制）．还有系统的有限性和无限性即顾客源的有限或无限也是有差别的．（3）服务机构：相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务，单个顾客的服务时间是多少．2.2判断服务系统优劣的指标①队长：服务系统总的顾客数，记其期望值为sL；②排队长：服务系统中正在等待接收服务的顾客，记其期望值为qL；通常情况下sL或qL越大，系统的服务质量越差，反之，则越好；③逗留时间：某一顾客在服务系统中总的停留时间，记其期望值为sW；④等待时间：指某一顾客在服务系统中排队过程所费总时间；⑤忙期：指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度，是服务质量和强度的指标．用tN表示从初始时刻（0时刻）到t时刻（时间区间用t,0表示）到达服务台的顾客数，用nP21,tt表示在时间区间21,tt（2t1t）内共有n个顾客到达服务台的概率，即：nP21,tt=PntNtN12下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求tPn的概率分布．首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念：定义2.1对于随机变量所有可能取值为3,2,1,0满足以下两个条件时；⑴.0kP3,2,1,0k…⑵1!00ekkPkkk；则称这个分布服从参数为0泊松分布3，记为~X．泊松过程作为一种累计的随机事件发生次数的最基本的独立增量过程，排队问题中的计数过程0,ttN需满足下面三个条件4：i.独立增量性：在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立；ii.平稳性：对充分小的t，在时间区间ttt,内有一个顾客到达的概率与t无关，而约与t成正比．即：tttttP,1（为大于零的常数）iii.普通性：对充分小的t，在时间区间ttt,内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略不计，即：合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）6ttttPnn,2由上述条件（i）取0t即从0时刻算起，并记为tPtPnn,0；再由条件（ii）（iii）可得在ttt,内无顾客到达的概率为：tttttP1,0因为tttttt,,00，（即将tt，0拆分）由全概率公式有：111ntttPttPttPnnn………①将①式两边同时除以t0