刚塑性有限元法及其在轧制中应用

刚塑性有限元法及其在轧制中的应用轧制技术及连轧自动化国家重点实验室1.学习目的和要求了解现代轧钢生产和轧制技术的发展概况；了解现代轧制理论研究的基本任务；掌握刚塑性有限元的基本概念；掌握刚塑性有限元的基本理论；掌握刚塑性有限元的基本方法；2.学习的主要内容刚塑性有限元的基本概念和基本理论；刚塑性有限元相关技术问题的处理方法；求解轧制过程的刚塑性有限元程序。3.本课程的基础和相关知识现代塑性加工力学基本方程、变分原理、有限元基础知识；工程数学矩阵分析、优化方法、数值分析；计算机基础知识操作系统、FORTRAN语言和FORTRAN4.0编程软件。4.讲课和学习方法课堂讲授基本概念、基本理论、基本方法程序剖析；课外自学消化理解、阅读程序；上机实践调试程序1.1现代轧制理论研究的发展概况20世纪60年代前，轧钢生产过程—手工操作和使用单体设备。轧制理论主要解决问题—轧制力、力矩、功率、宽展和前滑等参数的近似计算。主要进展—提出卡尔曼和奥罗万方程，采用一些假设条件推导出轧制力和宽展等公式，逐步形成了以工程法为核心的传统轧制理论体系。20世纪60年代以后，随着轧钢生产和轧制技术的飞跃发展和用户对产品质量要求的日益提高，以计算机为工具，以现代数值分析方法的为特征的现代轧制理论得到了迅速发展。1.1.1现代轧钢生产的发展20世纪50~70年代—发展趋势是大型化、高速化和连续化1960年前建立的热带钢轧机，辊身范围1120~2490mm，年生产能力100~200万吨，带钢卷重6~14吨，最大精轧速度为10~12m/s，技术进步是将AGC应用于精轧机；20世纪60~70年代，轧机向现代化技术方面发展，同时连铸技术发展成熟。大型连铸坯、步进式加热炉、大型化的粗轧机、7机架精轧机组、AGC、升速轧制、层流冷却技术以及轧制过程计算机控制的全面应用。20世纪80年代以后—轧钢生产主要向提高产品质量、降低消耗、优化轧制过程、开发新钢材和新品种方向发展。板形、厚度及超级钢1.1.2轧制技术的发展轧钢生产的发展促进了轧制技术的进步连铸技术连铸直接轧制技术(CC-DR)连铸热装直接轧制技术(CC-HCR)AGC、AFC、ATCSFR及无头轧制技术ISP及CSP—薄板坯连铸连轧技术1.1.3现代轧制理论研究的基本任务求解轧制变形区各种分布量，如应力场、应变场、速度场和温度场等，为板形板厚控制和型钢孔型设计提供理论基础。对轧制过程中工具及工件的温度与变形进行综合研究，为钢的高精度轧制及轧机的高精度控制服务。对轧件不均匀变形及轧件头尾不稳定变形过程的理论研究，为提高产品质量和成材率、进一步优化轧制规程服务。提高轧制过程参数的理论解析精度，建立和完善控制轧制过程的数学模型。开展轧制过程热力学及冶金学参数的综合研究，对轧制过程的变形温度、变形程度、金属的微观组织及产品的最终性能进行综合模拟，实现根据产品使用进行钢材成份及轧制过程的预设计。1.2.1初等理论中的数值方法采用有限差分方法求解卡尔曼或奥罗万方程。基本思想：在变形区内取微元体，建立力平衡微分方程，然后在变形区内进行差分网格划分，在已知边界条件下，采用差分方法求解微元体上的力平衡方程。特点：能够定性地得出变形区中的轧制力和金属流动规律，但计算精度有待于进一步提高。1.2.2滑移线理论及其数值解法滑移线法：把轧制过程变形区划分为一系列由滑移线族组成的滑移线网络，每条滑移线均为达到屈服切应力k，根据Henky应力方程可以确定变形区的应力场。近年来，利用计算机可以形成金属成型变形区的滑移线网络，并计算相应的滑移线场。特点：滑移线法只能处理理想刚塑性体平面变形或轴对称变形问题，对三维变形问题、温度和材料性质参数分布不均问题是无能为力的。1.2.3能量法及其数值解法能量法的基础是刚塑性材料的变分原理。基本思想：给定边界条件→设定含有待定参数的运动许可速度场或静力许可应力场→建立相应能量泛函→使其最小化确定待定参数→得到真实的速度场→由塑性力学基本关系求出变形及力能参数→得到变形区内的应变场。优点：能量法可以求解三维变形问题，直接得出变形功率、转矩和由速度场决定的宽展、前滑;缺点：由于不能直接得出静水压力，所以不能直接得出应力分布。此外，能量法也难以处理温度、变形抗力等不均匀分布的问题。1.2.4弹塑性有限元法弹塑性有限元法分析金属成型时采用弹塑性材料本构关系，考虑变形的历史相关性，在求解时需要采用增量加载，在每一个加载步中，只能有少数单元从弹性状态进入塑性状态，以便减小计算误差，因此，所需计算机的容量较大、计算时间长。优点：不仅可以求解塑性区的扩展、应力、应变分布，而且可以有效地处理卸载问题，计算残余应力、残余应变分布。缺点：存在积累误差，计算机容量较大，计算时间长。2.刚塑性有限元法的基本理论2.1有限元法的基本概念有限元法：把工件划分成有限结点相连接的单元，以结点上的速度(位移)作为未知量，利用最小能原理求解相应的方程组确定此未知量，按结点速度与单元内部应变以及单元内部应力之间的关系确定各单元的应力、应变分布。2.2刚塑性有限元法及基本思想用有限元方法分析金属塑性成型过程时，采用刚塑性材料本构模型进行求解就是刚塑性有限元法。基本思想：从刚塑性材料的变分原理出发，按有限元模式把能耗率泛函表示为节点速度的非线性函数，利用数学上的最优化理论得出满足极值条件的最优解，即使总能耗率取最小值的运动许可速度场，根据塑性力学的基本关系和本构方程得出应变速度场、应力场以及变形和力能参数。2.3刚塑性材料模型金属成型过程中，材料变形的物理过程非常复杂，为了便于数学处理，必须做出一些假设，把变形中的某些过程理想化。用刚塑性有限元法分析材料变形问题时，材料满足下列基本假设：(1)材料均质各向同性；(2)忽略材料的弹性变形，不计体积力与惯性力；(3)材料的变形流动服从Levy-Mises流动理论；(4)材料的体积不变或微可压缩。2.3.1理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型的基本假设如下：(1)材料均质各向同性；(2)忽略材料的弹性变形，不计体积力与惯性力；(3)材料的变形流动服从Levy-Mises流动理论；(4)材料的体积不变；(5)不考虑加工硬化，忽略变形抗力对变形速度的敏感性。2.3.1.1理想刚塑性材料模型的应力应变关系ks3图2-1理想刚塑性材料的应力应变关系2.3.1.2理想刚塑性材料模型的特点只要等效应力达到一恒定数值，材料便发生屈服，而且材料在整个变形过程中屈服应力不再发生变化。采用理想刚塑性材料模型进行能量积分时，可以把等效应力做为常数提到积分号之外，从而使积分过程得到简化。2.3.1.3采用该模型进行FEM求解应该注意的问题在轧制变形区中，由于轧件各点的温度、变形速度和变形程度的不同，屈服应力相差很大，在整个变形区内采用理想刚塑性材料模型必然会给计算结果带来误差。因此，用有限元法求解时，把变形区划分成足够多的单元，这样可以认为每个单元内的温度、变形速度和变形程度相同，在每个单元内采用理想刚塑性材料模型，不同单元采用不同的屈服应力，这样处理才能得到比较接近实际的结果。2.3.2刚塑性硬化材料模型刚塑性硬化材料基本假设如下：(1)材料均质各向同性；(2)忽略材料的弹性变形，不计体积力与惯性力；(3)材料的变形流动服从Levy-Mises流动理论；(4)材料的体积不变；(5)考虑加工硬化和变形抗力对变形速度的敏感性。2.3.2.1刚塑性硬化材料的应力应变关系),,(Tfs图2-2刚塑性硬化材料的应力应变关系2.3.2.2刚塑性硬化材料的变形抗力对于刚塑性硬化材料来说，当材料的化学成份和物理状态一定时，通常把变形抗力表示成变形温度、变形速度和变形程度的函数：(,,)sfT0nsa()nmsbc(2-1)(2-2)(2-3)2.3.2.3Mises流动法则理想刚塑性材料和刚塑性硬化材料都假设材料是不可压缩的，根据Mises流动法则，变形速度分量与偏差应力分量成正比，即这种材料的变形速度场与偏差应力场一一对应，但由于静水压力是不确定的，所以当以速度为未知量进行求解时，不能直接求得应力场。而体积可压缩材料模型可巧妙地解决这一问题。yxyyzxzxzxyzxyyzzxd(2-4)2.3.3刚塑性可压缩材料模型刚塑性可压缩材料的基本假设如下：(1)材料均质各向同性；(2)忽略材料的弹性变形，不计体积力与惯性力；(3)材料的变形流动服从Levy-Mises流动理论；(4)材料的体积微可压缩；(5)考虑加工硬化和变形抗力对变形速度的敏感性。(1)刚塑性可压缩材料的屈服条件刚塑性可压缩材料与刚塑性硬化材料的主要差别是放松了体积不变条件的约束，即假设屈服与静水压力有关，屈服条件不仅取决于偏差应力的二次不变量，也取决于应力的一次不变量。122222222223()1=[()()()6()]6xyzxyzmxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxJJ(2-5)(2-6)刚塑性可压缩材料的屈服条件在主轴条件下，屈服条件：1222221223311[()()()]2mg(2-7)122222222122211[()()()6()]239xyyzzxxyyzzxmggJJ(2-8)Misees屈服曲面平面1122,23图2-3刚塑性可压缩材料主应力空间的屈服曲面可压缩参数对屈服条件的影响在平面上(1+2+3=3m=0),椭球体与Mises屈服圆柱相切，即刚塑性可压缩材料与Mises屈服条件一致。在平面以外(m≠0)，刚塑性可压缩材料比理想刚塑性材料容易进入屈服状态。可压缩参数g值越小，椭球体长轴延长，越接近于Mises屈服条件。当考虑加工硬化时，椭球体的体积将随着加工硬化而膨胀。数量场和矢量场数量场：对于空间或部分空间的任意一点M，都有一个确定的数值f(M)与之对应，则称在这个空间或部分空间上确定了一个数量场。该数量场可用数值函数f(M)来确定。例如温度场就是一个数量场。矢量场：对于空间或部分空间的任意一点M，都有一个确定的矢量f(M)与之对应，则称在这个空间或部分空间上确定了一个矢量场。该矢量场可用矢量函数f(M)来确定。例如速度场、应力场均是矢量场。势和势场梯度：设函数u=f(x,y,z)在空间或部分空间具有一阶连续偏导数，则对空间或部分空间的每一个点P(x,y,z)都可以确定一个矢量：这个矢量就称作函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度。利用场的概念，该矢量函数在空间或部分空间确定了一个矢量场，即梯度场。它是由数值函数产生的，称数值函数为这个矢量场的势，矢量函数则称为有势场或势场。kzfjyfixfzyxf),,(grad(2)塑性势和变形速度分量假设刚塑性可压缩材料的屈服函数为塑性势：1222222221()[()()()6()]2ijxyyzzxxyyzzxmFg(2-9)()ijijijFdd根据塑性势的定义：()ijijijFd则(2-10)dtdddt两边同除以时间增量，令变形速度分量利用(2-9)式和(2-10)式可直接求出应变速度分量：2[(1)]92[(1)]92[(1)]9222xxmyymzzmxyxyyzyzzxzxgdgdgdddd(2-11)与之间关系下面以为例推导与之间关系dd()ijxxFddd1222222221