高等代数(北大版)第7章习题参考答案

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P3中，A),,(),,(233221321xxxxxxx；4）在P3中，A),,2(),,(13221321xxxxxxxx；5）在P[x]中，A)1()(xfxf；6）在P[x]中，A),()(0xfxf其中0xP是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。8）在Pnn中，AX=BXC其中B,CPnn是两个固定的矩阵.解1)当0时,是;当0时,不是。2)当0时,是;当0时,不是。3)不是.例如当)0,0,1(,2k时,kA)0,0,2()(,A)0,0,4()(k,A)(kkA()。4)是.因取),,(),,,(321321yyyxxx,有A)(=A),,(332211yxyxyx=),,22(1133222211yxyxyxyxyx=),,2(),,2(1322113221yyyyyxxxxx=A+A，A)(kA),,(321kxkxkx),,2(),,2(1322113221kxkxkxkxkxkxkxkxkxkx=kA)(，故A是P3上的线性变换。5)是.因任取][)(],[)(xPxgxPxf,并令)()()(xgxfxu则A))()((xgxf=A)(xu=)1(xu=)1()1(xgxf=A)(xf+A))((xg，再令)()(xkfxv则A))((xkfAkxkfxvxv)1()1())((A))((xf，故A为][xP上的线性变换。6)是.因任取][)(],[)(xPxgxPxf则.A))()((xgxf=0(xf0()xg)A))((xfA)((xg)，A0())((xkfxkfk)A))((xf。7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。8)是，因任取二矩阵YX,nnP，则A(BYCBXCCYXBYX)()AX+AY，A(kX)=kBXCkkXB)()(AX，故A是nnP上的线性变换。2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有1)因为Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)，所以A4=B4=C4=E。2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以ABBA。3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A2B2=B2A2。4)因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)，所以(AB)2A2B2。3.在P[x]中，A')(fxf),(xB)()(xxfxf，证明:AB-BA=E。证任取)(xfP[x]，则有(AB-BA))(xf=AB)(xf-BA)(xf=A())(xxf-B('f))(x=;)(xfxf)(x-'xf)(x=)(xf所以AB-BA=E。4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kA1k(k1)。证采用数学归纳法。当k=2时A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª，结论成立。归纳假设mk时结论成立，即AmB-BAm=mA1m。则当1mk时，有A1mB-BA1m=(A1mB-AmBA)+(AmBA-BA1m)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mA1mA=)1(mAm。即1mk时结论成立.故对一切1k结论成立。5.证明：可逆变换是双射。证设A是可逆变换，它的逆变换为A1。若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A1，有a=b，这与条件矛盾。其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A1b=a即可。因此,A是一个双射。6.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A1,A2,,An线性无关。证因A(1,2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,,n)A，故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关，故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关.。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1)第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；2)[o;1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩阵；3)在空间P[x]n中，设变换A为)()1()(xfxfxf，试求A在基i=!1)1()1(iixxx(I=1,2,,n-1)下的矩阵A；4)六个函数1=eaxcosbx,2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，1=221xeaxcosbx,1=21eax2xsinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基i(i=1,2,,6)下的矩阵；5)已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是121011101，求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；6)在P3中，A定义如下：)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321AAA，其中)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321，求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；7)同上，求A在1,2,3下的矩阵。解1)A1=(2,0,1)=21+3，A2=(-1,1,0)=-1+2，A3=(0,1,0)=2，故在基1,2，3下的矩阵为001110012。2）取1=（1，0），2=（0，1），则A1=211+212，A2=211+212，故A在基1，2下的矩阵为A=21212121。又因为B1=0，B2=2，所以B在基1，2下的矩阵为B=1000，另外，（AB）2=A（B2）=A2=211+212，所以AB在基1，2下的矩阵为AB=210210。3）因为)!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210nnxxxxxxn，所以A0110，A01)1(xx，A)!1()]2([)1()!1()]3([)1(1nnxxxnnxxxn=)!1()]3([)1(nnxxx{)]2([)1(nxx}=2n，所以A在基0,1,,1n下的矩阵为A=011010。4）因为D1=a1-b2,D2=b1-a2,6，D3=1+a3-b4,D4=2+b3+a4,D5=3+a5-b6,D6=4+b5+a6，所以D在给定基下的矩阵为D=0000000001000010000100001abbaabbaabba。5）因为(1,2,3)=(1,2，3)111101011，所以(1,2，3)=(1,2,3)101110111=(1,2,3)X，故A在基1,2，3下的矩阵为B=X1AX=111101011121011101101110111=203022211。6）因为(1,2,3)=(1,2，3)012110301，所以A(1,2,3)=A(1,2，3)012110301,但已知A(1,2,3)=(1,2，3)963110505，故A(1,2，3)=(1,2，3)9631105050121103011=(1,2，3)963110505717172717672737371=(1,2，3)72471872772757472072075。7）因为(1,2，3)=(1,2,3)0121103011，所以A(1,2,3)=(1,2,3)0121103011963110505=(1,2,3)011101532。8．在P22中定义线性变换A1(X)=dcbaX,A2(X)=Xdcba,A2(X)=dcbaXdcba,求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。解因A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A1=dcdcbaba00000000。又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,A2E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,故A2在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A2=dbcadbca00000000。又因A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22，A3E12=acE11+adE12+c2E21+cdE22，A3E21=abE11+b2E12+adE21+bdE22，A3E22=bcE11+bdE12+cdE21+d2E22，故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为22223dbdcdbccdadcacbdbadabbcabacaA。9.设三维线性空间V上的线性变换A在基321,,下的矩阵为A=333231232221131211aaaaaaaaa，1)求A在基123,,下的矩阵；2)求A在基321,,k下的矩阵，其中且；3)求A在基3221,,下的矩阵。解1)因A3=333a+a22313a1，